b)
mostrar que lang<=u, vrang<==5 u1 dotv1-dotu1 v2-u2 v1+10 u2 v2 ć o produto interno de R^2 gerado por
A=[rr 2 & 1 -1 & 3 ]
calcular lang<=u, vrang<= com u=(0,-3) e v=(6,2).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o produto interno em R^2 gerado pela matriz
A = 2 & 1 -1 & 3
é dado por
lang<= u,vrang<= =5,u1v1-u1v2-u2v1+10,u2v2,
e em seguida calcular esse produto interno para u=(0,-3) e v=(6,2). Vamos usar a definição
lang<= u,vrang<= = (A,u)cdot(A,v) = u^T(A^TA),v

Passo 2

Calcular A^TA. Primeiro
A^T = 2 & -1 [6pt] 1 & 3,
de modo que
A^TA =2 & -1 [3pt]1 & 3 2 & 1 [3pt]-1 & 3 = 2cdot2+(-1)cdot(-1) & 2cdot1+(-1)cdot3 [4pt] 1cdot2+3cdot(-1) & 1cdot1+3cdot3 =5 & -1 [3pt]-1 & 10 ]

Passo 3

Como
temos para e

Passo 4

Agora, para u=(0,-3) e v=(6,2), substituímos:
lang<= u,vrang<= =5cdot0cdot6 - 0cdot2 -(-3)cdot6 + 10cdot(-3)cdot2 =0 - 0 + 18 - 60 =-42

Resposta

-42

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