Determine se o conjunto B é uma base para o espaço vetorial V.
V=P3(R), B=1, x, x^2, x^3

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
B = 1,;x,;x^2,;x^3
é uma base do espaço vetorial
V = P3(R),
isto é, o espaço de todos os polinômios reais de grau no máximo 3. Para isso, vamos usar a definição de base: um subconjunto de um espaço vetorial é base se e somente se for linearmente independente e gerar todo o espaço.

Passo 2

Mostramos que B é linearmente independente. Suponha que existam escalares c0,c1,c2,c3inR tais que
c0cdot1 + c1,x + c2,x^2 + c3,x^3 = 0
é o polinômio identicamente nulo. Mas um polinômio
p(x)=c0 + c1x + c2x^2 + c3x^3
é nulo para todo x se, e somente se, todos os coeficientes são zero. Logo
c0 = c1 = c2 = c3 = 0,
e isso prova a independência linear de B.

Passo 3

Mostramos que B gera V. Seja um polinômio genérico
p(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3
em P3(R). Claro que
p(x) = a0cdot1 + a1,x + a2,x^2 + a3,x^3,
ou seja, p é combinação linear de 1,x,x^2,x^3. Portanto, todo polinômio de grau <=3 está no span de B.

Passo 4

Como B é linearmente independente e gera V, concluímos que B é uma base de V.

Resposta

Sim. B=1,x,x^2,x^3 é uma base de P3(R).

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