Determine se o conjunto
é uma base para o espaço vetorial
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é uma base do espaço vetorial
isto é, o espaço de todos os polinômios reais de grau no máximo
. Para isso, vamos usar a definição de base: um subconjunto de um espaço vetorial é base se e somente se for linearmente independente e gerar todo o espaço.
Passo 2
Mostramos que
é linearmente independente. Suponha que existam escalares
tais que
é o polinômio identicamente nulo. Mas um polinômio
é nulo para todo
se, e somente se, todos os coeficientes são zero. Logo
e isso prova a independência linear de
.
Passo 3
Mostramos que
gera
. Seja um polinômio genérico
em
. Claro que
ou seja,
é combinação linear de
. Portanto, todo polinômio de grau
está no span de
.
Passo 4
Como
é linearmente independente e gera
, concluímos que
é uma base de
.
Resposta
Sim.
é uma base de
.