Seja V um espaço vetorial do R^n. Prove que a aplicação
(u, v) mapsto u * v=2lang<= u, vrang<=
também é um produto interno sobre V. Esse resultado é válido para qualquer constante k in R no lugar de 2?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um espaço vetorial V sobre R^n com produto interno original lang<=cdot,cdotrang<=, a nova aplicação
(u,v);mapsto;u * v ;=;2,lang<= u,vrang<=
satisfaz as três propriedades de um produto interno: simetria, bilinearidade e positividade. Além disso, devemos investigar se podemos trocar o 2 por uma constante genérica kinR e ainda obter produto interno.

Passo 2

Verificação da simetria:
Para todo u,vinV, como lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=, temos
u * v ;=;2,lang<= u,vrang<= ;=;2,lang<= v,urang<= ;=;v * u
Logo u * v = v * u.

Passo 3

Verificação da bilinearidade:
  1. Linearidade na primeira componente: para u,u',vinV e alphainR,
(u+u') * v =2,lang<= u+u',vrang<= =2l(lang<= u,vrang<=+lang<= u',vrang<=r) =2,lang<= u,vrang<=+2,lang<= u',vrang<= = u * v + u' * v,
(alpha,u)*v =2,lang<= alpha u,vrang<= =2,alpha,lang<= u,vrang<= =alpha,(2,lang<= u,vrang<=) =alpha,(u*v)
  1. Linearidade na segunda componente é análoga pelo mesmo raciocínio sobre lang<= u,v+v'rang<= e lang<= u,beta vrang<=.

Passo 4

Verificação da positividade:
Para todo uneq0, sabe-se que lang<= u,urang<=>0. Logo
u * u =2,lang<= u,urang<= >0,
e u*u=0 se e somente se u=0. Assim u * u é positivo-definido.

Passo 5

Generalização para constante kinR:
Defina
u star v ;=;k,lang<= u,vrang<=
As provas de simetria e bilinearidade seguem iguais, apenas trocando o 2 por k. Para a positividade precisamos de
ustar u =k,lang<= u,urang<=>0 forall uneq0
Como sempre lang<= u,urang<=>0, isso exige k>0. Se k=0 dá forma degenerada, e se k<0 falha em ser positiva. Portanto só vale para k>0.

Resposta

A aplicação u*v=2lang<= u,vrang<= satisfaz as três propriedades de produto interno, logo é um produto interno. Mais geralmente, ustar v=klang<= u,vrang<= é produto interno se, e somente se, k>0.

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