Seja
um espaço vetorial do
. Prove que a aplicação
também é um produto interno sobre
. Esse resultado é válido para qualquer constante
no lugar de 2?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um espaço vetorial
sobre
com produto interno original
, a nova aplicação
satisfaz as três propriedades de um produto interno: simetria, bilinearidade e positividade. Além disso, devemos investigar se podemos trocar o
por uma constante genérica
e ainda obter produto interno.
Passo 2
Verificação da simetria:
Para todo , como
, temos
Para todo
Logo
.
Passo 3
Verificação da bilinearidade:
- Linearidade na primeira componente: para
e ,
- Linearidade na segunda componente é análoga pelo mesmo raciocínio sobre
e .
Passo 4
Verificação da positividade:
Para todo , sabe-se que
. Logo
Para todo
e
se e somente se
. Assim
é positivo-definido.
Passo 5
Generalização para constante
:
Defina
Defina
As provas de simetria e bilinearidade seguem iguais, apenas trocando o
por
. Para a positividade precisamos de
Como sempre
, isso exige
. Se
dá forma degenerada, e se
falha em ser positiva. Portanto só vale para
.
Resposta
A aplicação
satisfaz as três propriedades de produto interno, logo é um produto interno. Mais geralmente,
é produto interno se, e somente se,
.