Seja alpha=(1,2),(2,1) e beta=(0,1,1),(0,-1,1)(1,0,1) bases de R^2 e R^3, respectivamente. Use o processo de Gram-Schmidt para achar uma base ortonormal alpha e beta de R^2 e R^3 em relação ao produto interno usual.

Passo 1

O enunciado dá duas bases
alpha=(1,2),(2,1) de R^2 e
beta=(0,1,1),(0,-1,1),(1,0,1) de R^3,
e pede que usemos o processo de Gram–Schmidt para obter bases ortonormais hatalpha e hatbeta em cada espaço, com o produto interno usual.

Passo 2

Aplicando Gram–Schmidt em R^2 aos vetores
v1=(1,2), v2=(2,1):
  1. Definimos u1=v1 e
|u1|=raiz1^2+2^2=raiz5, e1=u1|u1|=l(1raiz5,2raiz5r)
  1. Projetamos v2 sobre e1:
lang<= v2,e1rang<==2cdot1+1cdot2raiz5=4raiz5, proje1v2=4raiz5e1=l(45,85r)
  1. Definimos
u2=v2-proje1v2=l(2-tfrac45,;1-tfrac85r) =l(tfrac65,,-tfrac35r),
|u2|=raizl(tfrac65r)^2+l(-tfrac35r)^2 =3raiz55, e2=u2|u2|=l(2raiz5,-1raiz5r)
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hatalpha=,e1,e2= ll(tfrac1raiz5,tfrac2raiz5r), l(tfrac2raiz5,-tfrac1raiz5r)r

Passo 3

Aplicando Gram–Schmidt em R^3 aos vetores
w1=(0,1,1), w2=(0,-1,1), w3=(1,0,1):
  1. f1=w1,
|f1|=raiz0^2+1^2+1^2=raiz2, q1=f1|f1|=l(0,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)
  1. f2=w2-lang<= w2,q1rang<= q1. Como
    lang<= w2,q1rang<==0, temos f2=w2,
|f2|=raiz2, q2=l(0,-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)
f3=w3-lang<= w3,q1rang<= q1-lang<= w3,q2rang<= q2.
Cálculos:
lang<= w3,q1rang<==tfrac1raiz2,;lang<= w3,q2rang<==tfrac1raiz2,
leva a
f3=(1,0,1)-tfrac1raiz2q1-tfrac1raiz2q2=(1,0,0),
|f3|=1, q3=(1,0,0)
Portanto
hatbeta=,q1,q2,q3= ll(0,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r), l(0,-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r), (1,0,0)r

Resposta

hatalpha=ll(tfrac1raiz5,tfrac2raiz5r),;l(tfrac2raiz5,-tfrac1raiz5r)r
hatbeta=ll(0,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r),;l(0,-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r),;(1,0,0)r

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