(b) Mostre que
integral0^infty omega sen(omega t)omega^2+a^2 d omega=pi2 e^-a t, t>0, integral0^infty cos (omega t)omega^2+a^2 d omega=pi2 a e^-a t, t>0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar as duas integrais impróprias
integral0^infty omega sen(omega t)omega^2+a^2,domega ;=;pi2e^-a t, integral0^infty cos(omega t)omega^2+a^2,domega ;=;pi2ae^-a t,
para t>0 e a>0. O conteúdo principal aqui é usar transformadas de Fourier (ou integração em contorno) para obter a integral do exponencial complexo
integral-infty^inftye^iomega tomega^2+a^2,domega,
e então extrair as partes real e imaginária.

Passo 2

Recordamos o resultado padrão de contorno (ou de transformada de Fourier)
integral-infty^inftye^iomega tomega^2+a^2,domega =pia,e^-a|t|
Para t>0 isso vira
integral-infty^inftye^iomega tomega^2+a^2,domega =pia,e^-a t

Passo 3

Como cos(omega t) é a parte real de e^iomega t e o integrando em omega é par, temos
integral0^inftycos(omega t)omega^2+a^2,domega =12integral-infty^inftye^iomega tomega^2+a^2,domega =12cdotpiae^-a t =pi2ae^-a t

Passo 4

Agora defina
I(t)=integral0^inftycos(omega t)omega^2+a^2,domega
Diferenciando em relação a t,
I'(t) =integral0^inftypartialpartial tl[cos(omega t)r]domegaomega^2+a^2 =-integral0^inftyomegasen(omega t)omega^2+a^2,domega
Mas já sabemos que I(t)=tfracpi2ae^-a t, então
I'(t) =pi2a(-a)e^-a t =-pi2e^-a t
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integral0^inftyomegasen(omega t)omega^2+a^2,domega =-I'(t) =pi2e^-a t

Resposta

integral0^inftyomegasen(omega t)omega^2+a^2,domega =pi2e^-a t, integral0^inftycos(omega t)omega^2+a^2,domega =pi2ae^-a t

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