(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar as duas integrais impróprias
para
e
. O conteúdo principal aqui é usar transformadas de Fourier (ou integração em contorno) para obter a integral do exponencial complexo
,
e então extrair as partes real e imaginária.
e então extrair as partes real e imaginária.
Passo 2
Recordamos o resultado padrão de contorno (ou de transformada de Fourier)
Para
isso vira
Passo 3
Como
é a parte real de
e o integrando em
é par, temos
Passo 4
Agora defina
Diferenciando em relação a
,
Mas já sabemos que
, então
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