Verifique que integral0^infty e^-a omega sen(b omega)omega d omega=arctan ba, onde a e b são constantes positivas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a>0 e b>0, vale
integral0^infty e^-aomega,sen(bomega)omega,domega =arctan!ba
O conteúdo principal aqui é integral imprópria e transformada de Laplace, usando a técnica de diferenciação sob o sinal de integral para identificar o valor exato.

Passo 2

Definimos
F(b)=integral0^infty e^-aomega,sen(bomega)omega,domega
Como l|partialb[sen(bomega)/omega]r|=|cos(bomega)| e
integral0^inftye^-aomega|cos(bomega)|,domega<infty, podemos trocar derivada e integral. Assim,
F'(b) =ddbintegral0^inftye^-aomega,sen(bomega)omega,domega =integral0^inftye^-aomega,partialbl(sen(bomega)omegar)domega =integral0^inftye^-aomegacos(bomega),domega
Mas essa última é a transformada de Laplace de cos(bomega) em omega, com parâmetro s=a:
integral0^inftye^-aomegacos(bomega),domega =aa^2+b^2
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F'(b)=aa^2+b^2

Passo 3

Integramos F'(b) de 0 a b:
F(b)-F(0) =integral0^baa^2+u^2,du =l[arctan!uar]0^b =arctan!ba-0
Como F(0)=integral0^inftye^-aomega,sen(0)omega,domega=0, segue
F(b)=arctan!ba

Passo 4

Concluímos que
integral0^infty e^-aomega,sen(bomega)omega,domega =F(b)=arctan!ba

Resposta

arctanba

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