Considere a função
, definida por
.
c) Por que a função contínua
não é limitada se seu domínio é limitado?
c) Por que a função contínua
Passo 1
O enunciado dá a função contínua
,
. O domínio
é limitado, mas não é fechado (pois falta o ponto
). Vamos usar o Teorema do Valor Extremo, que exige domínio compacto (fechado e limitado), para explicar por que
não é limitada.
Passo 2
O Teorema do Valor Extremo diz que se uma função é contínua num conjunto compacto, então ela é limitada e atinge seu máximo e mínimo. Aqui, embora
seja limitado, ele não é fechado em
, pois
é ponto de acumulação não incluído. Logo, o domínio não é compacto e o teorema não se aplica.
Passo 3
De fato, ao aproximar
de
pela direita, temos
Isso mostra que para qualquer número
existe
tão pequeno que
. Portanto,
não é limitada.
Resposta
A função não é limitada porque o domínio
não é compacto (não inclui o ponto
) e, como
,
cresce sem limite quando
se aproxima de
.