Considere a função f:(0,1] R, definida por f(x)=1x.
c) Por que a função contínua f não é limitada se seu domínio é limitado?

Passo 1

O enunciado dá a função contínua f:(0,1]toR, f(x)=tfrac1x. O domínio (0,1] é limitado, mas não é fechado (pois falta o ponto 0). Vamos usar o Teorema do Valor Extremo, que exige domínio compacto (fechado e limitado), para explicar por que f não é limitada.

Passo 2

O Teorema do Valor Extremo diz que se uma função é contínua num conjunto compacto, então ela é limitada e atinge seu máximo e mínimo. Aqui, embora (0,1] seja limitado, ele não é fechado em R, pois 0 é ponto de acumulação não incluído. Logo, o domínio não é compacto e o teorema não se aplica.

Passo 3

De fato, ao aproximar x de 0 pela direita, temos
limxto0^+f(x) =limxto0^+1x =+infty
Isso mostra que para qualquer número M>0 existe x tão pequeno que f(x)=1/x>M. Portanto, f não é limitada.

Resposta

A função não é limitada porque o domínio (0,1] não é compacto (não inclui o ponto 0) e, como limxto0^+1/x=+infty, f cresce sem limite quando x se aproxima de 0.

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