Fixado n in N, considere a função f:[0,+infty) [0,+infty) definida por f(x)=x^n.
b) Mostre que, f([0,+infty))=[0,+infty). Conclua que f é uma bijeção.

Passo 1

O enunciado fixa ninN e define a função \r
f:[0,+infty)to[0,+infty), f(x)=x^n \r
Queremos mostrar que \r
f([0,+infty))=[0,+infty), \r
ou seja, que para todo y>=0 existe x>=0 tal que f(x)=y. A partir disso, concluiremos que f é bijeção.

Passo 2

Mostramos primeiro que \r
f([0,+infty))subseteq[0,+infty) \r
De fato, se xin[0,+infty) então x^n>=0. Logo f(x)in[0,+infty), o que prova esta inclusão.

Passo 3

Agora mostramos que \r
[0,+infty)subseteq f([0,+infty)) \r
Seja yin[0,+infty). Definimos \r
x = y^1/n \r
Como y>=0 e ninN, temos x>=0. Além disso,\r
f(x)=x^n=(y^1/n)^n = y \r
Assim, todo y>=0 é imagem de algum x>=0, provando a sobrejetividade de f.

Passo 4

Concluímos que \r
f([0,+infty))=[0,+infty), \r
ou seja, f é sobrejetiva. Como xmapsto x^n é estritamente crescente em [0,+infty), ela também é injetiva. Portanto, f é bijeção.

Resposta

f([0,+infty))=[0,+infty), \r
logo f é bijeção.

Exercícios relacionados