Fixado
, considere a função
definida por
.
b) Mostre que,
. Conclua que
é uma bijeção.
b) Mostre que,
Passo 1
O enunciado fixa
e define a função \r
Queremos mostrar que \r
ou seja, que para todo
existe
tal que
. A partir disso, concluiremos que
é bijeção.
Passo 2
Mostramos primeiro que \r
De fato, se
então
. Logo
, o que prova esta inclusão.
Passo 3
Agora mostramos que \r
Seja
. Definimos \r
Como
e
, temos
. Além disso,\r
Assim, todo
é imagem de algum
, provando a sobrejetividade de
.
Passo 4
Concluímos que \r
ou seja,
é sobrejetiva. Como
é estritamente crescente em
, ela também é injetiva. Portanto,
é bijeção.
Resposta
logo
é bijeção.