Calcule integral duplaA f(x, y) d x d y, sendo f(x, y)=x^2+y^2, e A=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2 <= 1, y >= 0

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral duplaAf(x,y),dx,dy
com f(x,y)=x^2+y^2 e
A=(x,y)inR^2mid x^2+y^2<=1,;y>=0.
Como a região é um semicírculo e a função depende só de x^2+y^2, vamos usar coordenadas polares.

Passo 2

Na mudança para coordenadas polares temos
x=rcostheta, y=rsintheta,
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x^2+y^2=r^2, dx,dy=r,dr,dtheta
O domínio em polares fica
0<= r<=1, 0<=theta<=pi
Assim
integral duplaAf(x,y),dx,dy =integral0^piintegral0^1r^2;(r,dr,dtheta) =integral0^piintegral0^1r^3,dr,dtheta

Passo 3

Calculamos a integral em r:
integral0^1r^3,dr =l[tfracr^44r]0^1 =tfrac14

Passo 4

Agora integramos em theta:
integral0^pitfrac14,dtheta =tfrac14l[thetar]0^pi =tfracpi4

Resposta

pi4

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