b) Mostre que o conjunto V=M(2,2)=[lla & b c & d] rvert, a, b, c, d in R de todas as matrizes 2 times 2 munido das seguintes operações indicadas abaixo é um espaço vetorial.
u=[llu11 & u12 u21 & u22] e v=[llv11 & v12 v21 & v22]
Soma: u+v=[llu11 & u12 u21 & u22]+[llv11 & v12 v21 & v22]=[llu11+v11 & u12+v12 u21+v21 & u22+v22]
Produto por escalar: a u=[lla u11 & a u12 a u21 & a u22].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
munido da soma
e do produto por escalar
é um espaço vetorial sobre . Para isso, vamos verificar que forma um grupo abeliano e que o produto escalar satisfaz os axiomas restantes.

Passo 2

Verificar que (V,+) é um grupo abeliano:
  • Fechamento: dados u,vin V, cada entrada de u+v é a soma de dois reais, logo u+vin V.
  • Associatividade: para u,v,win V, como a soma em R é associativa, (u+v)+w e u+(v+w) têm coordenadas idênticas em cada posição.
  • Comutatividade: u+v=v+u pois uij+vij=vij+uij em R.
  • Elemento neutro: a matriz nula 0 = 0&00&0 satisfaz u+0=u.
  • Inverso aditivo: para cada uin V, -u = -u11&-u12-u21&-u22 e u + (-u) = 0.

Passo 3

Verificar as propriedades de compatibilidade do produto escalar:
  • Fechamento: para ainR e uin V, cada entrada de a,u é um real, logo a,uin V.
  • Compatibilidade de escalares: para a,binR e uin V, (ab),u = a,(b,u), pois (ab)uij=a,(b,uij) em R.
  • Identidade escalar: para todo uin V, 1,u = u, pois 1cdot uij=uij.

Passo 4

Verificar as propriedades distributivas:
  • Distributividade do escalar sobre soma de vetores: para ainR e u,vin V, a,(u+v) = a,(uij+vij) = a,uij+a,vij = a,u + a,v
  • Distributividade da soma de escalares sobre vetor: para a,binR e uin V, (a+b),u = (a+b),uij = a,uij+b,uij = a,u + b,u

Passo 5

Todas as propriedades de espaço vetorial seguem diretamente das propriedades de R aplicadas a cada entrada das matrizes. Logo, V=M(2,2) com as operações dadas é de fato um espaço vetorial sobre R.

Resposta

O conjunto V=M(2,2) com as operações de soma e produto por escalar definidas é um espaço vetorial sobre R.

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