Calcule o valor de para que o sistema linear homogêneo admita infintas soluções.
Passo 1
O sistema homogêneo
x - y - z = 0, x - 2y - 2z = 0, 2x + k,y + z = 0
tem sempre a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0). Para ter infinitas soluções (isto é, soluções não triviais), a condição é que o posto da matriz de coeficientes seja menor que 3. Vamos usar eliminação para encontrar a restrição em k.
Passo 2
Subtraindo a primeira equação da segunda, eliminamos x:
(x - 2y - 2z) - (x - y - z) = 0 ;Longrightarrow;-y - z = 0 ;Longrightarrow;y + z = 0
Passo 3
Da segunda relação y+z=0 vem z=-y. Substituindo em x - y - z = 0 (primeira equação) obtemos