Calcule o valor de k para que o sistema linear homogêneo admita infintas soluções.
S=c x-y-z=0 x-2 y-2 z=0 2 x+k y+z=0

Passo 1

O sistema homogêneo
x - y - z = 0, x - 2y - 2z = 0, 2x + k,y + z = 0
tem sempre a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0). Para ter infinitas soluções (isto é, soluções não triviais), a condição é que o posto da matriz de coeficientes seja menor que 3. Vamos usar eliminação para encontrar a restrição em k.

Passo 2

Subtraindo a primeira equação da segunda, eliminamos x:
(x - 2y - 2z) - (x - y - z) = 0 ;Longrightarrow;-y - z = 0 ;Longrightarrow;y + z = 0

Passo 3

Da segunda relação y+z=0 vem z=-y. Substituindo em x - y - z = 0 (primeira equação) obtemos
x - y -(-y) = x = 0

Passo 4

Agora inserimos x=0 e z=-y na terceira equação:
2cdot 0 + k,y + z = 0 Longrightarrow k,y + (-y) = 0 Longrightarrow (k - 1),y = 0

Passo 5

Para existir solução não trivial, precisamos de yneq0, o que exige
k - 1 = 0 Longrightarrow k = 1

Resposta

k = 1

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