Sejam V um espaço vetorial e v=(v1, v2), u=(u1, u2), w=(w1, w2) in V. Mostre as seguintes afirmações:
-(-v)=v ;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em qualquer espaço vetorial V, o inverso aditivo duplicado de um vetor retorna o próprio vetor, isto é,
-(-v) = v
Para isso vamos usar as propriedades de espaço vetorial: existência de elemento neutro, existência e unicidade do inverso aditivo e associatividade da soma.

Passo 2

Pela definição de inverso aditivo, sabemos que
v + (-v) = 0
De forma análoga, por definição de -(-v)) como inverso de -v, temos
(-v) + l(-(-v)r) = 0
Agora, some v à esquerda da segunda igualdade e use associatividade:
v + l[(-v) + (-(-v))r] = v + 0
Pela associatividade da soma,
(v + (-v)) + (-(-v)) = v
Como v + (-v)=0 e 0+(-(-v))=-(-v), obtemos
-(-v)=v

Resposta

-(-v)=v

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