Dada a função
, calcule:
a) O conjunto imagem de
b) O período de
a) O conjunto imagem de
b) O período de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função trigonométrica
e pede para calcularmos:
a) O conjunto imagem de
b) O período de
b) O período de
Vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas, especialmente sobre o comportamento do cosseno, para resolver essas partes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o conjunto imagem de uma função. Basicamente, é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir quando
varia em todos os números reais.
Sabemos que a função cosseno,
, tem valores que vão de -1 a 1. Ou seja,
.
Passo 3
Nossa função é
. Vamos identificar como a transformação afeta o intervalo padrão do cosseno.
Primeiro, multiplicamos o cosseno por -4: isso inverte o gráfico do cosseno e amplia sua amplitude. Então,
varia de
a
.
Depois, somamos 2: isso desloca todo o gráfico para cima em 2 unidades. Portanto,
vai variar de
a
.
Passo 4
Então, o conjunto imagem de
é o intervalo de
a
, ou seja,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o período da função
.
O período de uma função cosseno básica,
, é
. Quando temos um coeficiente dentro do argumento, como em
, o período muda para
.
No nosso caso, o argumento da função cosseno é
. O coeficiente de
é 6, então
.
Passo 6
Aplicando a fórmula do período:
Resposta
a) O conjunto imagem de
é
.
b) O período de
é
.