Dada a função f(x)=2-4 cos (6 x-pi), calcule:
a) O conjunto imagem de f(x)
b) O período de f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função trigonométrica f(x) = 2 - 4 cos(6x - pi) e pede para calcularmos:
a) O conjunto imagem de f(x)
b) O período de f(x)
Vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas, especialmente sobre o comportamento do cosseno, para resolver essas partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o conjunto imagem de uma função. Basicamente, é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir quando x varia em todos os números reais.
Sabemos que a função cosseno, cos(theta) , tem valores que vão de -1 a 1. Ou seja, cos(theta) in [-1, 1] .

Passo 3

Nossa função é f(x) = 2 - 4 cos(6x - pi) . Vamos identificar como a transformação afeta o intervalo padrão do cosseno.
Primeiro, multiplicamos o cosseno por -4: isso inverte o gráfico do cosseno e amplia sua amplitude. Então, -4 cos(theta) varia de -4 times 1 = -4 a -4 times (-1) = 4 .
Depois, somamos 2: isso desloca todo o gráfico para cima em 2 unidades. Portanto, 2 - 4 cos(theta) vai variar de -4 + 2 = -2 a 4 + 2 = 6 .

Passo 4

Então, o conjunto imagem de f(x) é o intervalo de -2 a 6, ou seja, [-2, 6].

Passo 5

Agora, vamos calcular o período da função f(x) = 2 - 4 cos(6x - pi) .
O período de uma função cosseno básica, cos(theta) , é 2pi . Quando temos um coeficiente dentro do argumento, como em cos(kx) , o período muda para 2pik .
No nosso caso, o argumento da função cosseno é 6x - pi . O coeficiente de x é 6, então k = 6 .

Passo 6

Aplicando a fórmula do período:
Período = 2pik = 2pi6 = pi3 í

Resposta

a) O conjunto imagem de f(x) é [-2, 6].
b) O período de f(x) é pi3 .

Exercícios relacionados