Se a>0 e b é um número qualquer, mostre que |x-b| é equivalente a b-a e também equivalente a x in] b-a, b+a[.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a desigualdade |x - b| < a (com a>0 e b qualquer) é equivalente a b - a < x < b + a e, em notação de intervalo, a x in, ]b - a, b + a[. O conteúdo envolve desigualdades e definição de valor absoluto, e vamos precisar da propriedade padrão:
|y| < a iff -a < y < a.

Passo 2

Definimos o valor absoluto de uma forma geral: para qualquer real y,
|y| = y, &se y>= 0, -y, &se y<0
Dessa definição vem a propriedade que usamos: |y| com a>0 é equivalente a -a.

Passo 3

Aplicamos a propriedade ao caso y = x - b. Assim,
|x - b| < a iff -a < x - b < a

Passo 4

Para isolar x, somamos b às três partes da desigualdade tripla:
-a < x - b < a
Longrightarrow; -a + b < x < a + b
Ou seja,
b - a < x < b + a

Passo 5

Em notação de intervalo aberto, a desigualdade b - a < x < b + a equivale a
x in ]b - a,,b + a[

Resposta

x \in ]b - a, b + a[

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