b) |4 x+4|+|4 x-4|=2

Passo 1

O enunciado dá a equação
|4x+4| + |4x-4| = 2
e pede para encontrar todos os valores de x (números reais) que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes que já estão na própria equação:
\text{expressões dentro de valor absoluto: }4x+4\quad\text{e}\quad4x-4.õ
Ou seja, devemos resolver a equação em \mathbb{R}.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão factorando o 4 que aparece em ambas as parcelas. Isso facilita a leitura e mostra melhor a escala do problema. Note que, para todo x,
|4x+4| = |4(x+1)| = 4\,|x+1|
e
|4x-4| = |4(x-1)| = 4\,|x-1|.
Somando as duas expressões obtemos
|4x+4| + |4x-4| = 4\bigl(|x+1| + |x-1|\bigr).
Substituindo na equação original temos a equação equivalente
4\bigl(|x+1| + |x-1|\bigr) = 2.

Passo 3

Dividindo ambos os lados por 4 (operação válida) obtemos uma forma ainda mais simples:
|x+1| + |x-1| = \tfrac{1}{2}.
Agora nossa missão é resolver essa equação envolvendo soma de valores absolutos.

Passo 4

Para resolver equações com valores absolutos, o método padrão é dividir a reta dos reais em intervalos onde os sinais das expressões internas são fixos; aqui as mudanças de sinal ocorrem quando x+1=0 e quando x-1=0, isto é, em x=-1 e x=1. Então consideramos três intervalos:
  1. x<-1,
  2. -1\le x\le 1,
  3. x>1.
Em cada intervalo substituímos |x+1| e |x-1| pelas formas sem o módulo apropriadas (com sinal positivo ou negativo).

Passo 5

Intervalo x>1:
  • Aqui x+1>0 e x-1>0, então |x+1|=x+1 e |x-1|=x-1.
  • A soma fica (x+1)+(x-1)=2x.
  • A equação pede 2x=\tfrac{1}{2}, logo x=\tfrac{1}{4}.
  • Mas \tfrac{1}{4}=0{,}25 não pertence ao intervalo x>1. Portanto não há solução neste intervalo.

Passo 6

Intervalo x<-1:
  • Aqui x+1<0 e x-1<0, então |x+1|=-(x+1)=-x-1 e |x-1|=-(x-1)=-x+1.
  • A soma fica (-x-1)+(-x+1)=-2x.
  • A equação pede -2x=\tfrac{1}{2}, logo x=-\tfrac{1}{4}.
  • Mas -\tfrac{1}{4}=-0{,}25 não pertence ao intervalo x<-1. Portanto não há solução neste intervalo.

Passo 7

Intervalo -1\le x\le 1:
  • Aqui x+1\ge0 e x-1\le0, então |x+1|=x+1 e |x-1|=-(x-1)=1-x.
  • A soma fica (x+1)+(1-x)=2.
  • A equação pede 2=\tfrac{1}{2}, o que é uma contradição. Portanto não há solução neste intervalo.

Passo 8

Como examinamos os três possíveis intervalos determinados pelas mudanças de sinal e não encontramos nenhum x que satisfaça a igualdade (todas as soluções candidatas caíram fora dos intervalos onde foram obtidas, e no intervalo central houve contradição), concluímos que não existem soluções reais.
Uma observação rápida que confirma isso de maneira conceitual: a função
f(x)=|x+1|+|x-1|
é uma função contínua e, como mostrado no Passo 7, para todo x\in[-1,1] vale f(x)=2. Nos demais pontos f(x)>2. Logo o mínimo de f em \mathbb{R} é 2. Como queremos f(x)=\tfrac{1}{2}, que é menor que 2, isso é impossível. Portanto não há solução.

Resposta

Não há solução real.

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