b)
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para encontrar todos os valores de
(números reais) que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes que já estão na própria equação:
Ou seja, devemos resolver a equação em
.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão factorando o
que aparece em ambas as parcelas. Isso facilita a leitura e mostra melhor a escala do problema. Note que, para todo
,
e
Somando as duas expressões obtemos
Substituindo na equação original temos a equação equivalente
Passo 3
Dividindo ambos os lados por
(operação válida) obtemos uma forma ainda mais simples:
Agora nossa missão é resolver essa equação envolvendo soma de valores absolutos.
Passo 4
Para resolver equações com valores absolutos, o método padrão é dividir a reta dos reais em intervalos onde os sinais das expressões internas são fixos; aqui as mudanças de sinal ocorrem quando
e quando
, isto é, em
e
. Então consideramos três intervalos:
-
, -
, -
.
Em cada intervalo substituímos
e
pelas formas sem o módulo apropriadas (com sinal positivo ou negativo).
Passo 5
Intervalo
:
- Aqui
e , então e . - A soma fica
. - A equação pede
, logo . - Mas
não pertence ao intervalo . Portanto não há solução neste intervalo.
Passo 6
Intervalo
:
- Aqui
e , então e . - A soma fica
. - A equação pede
, logo . - Mas
não pertence ao intervalo . Portanto não há solução neste intervalo.
Passo 7
Intervalo
:
- Aqui
e , então e . - A soma fica
. - A equação pede
, o que é uma contradição. Portanto não há solução neste intervalo.
Passo 8
Como examinamos os três possíveis intervalos determinados pelas mudanças de sinal e não encontramos nenhum
que satisfaça a igualdade (todas as soluções candidatas caíram fora dos intervalos onde foram obtidas, e no intervalo central houve contradição), concluímos que não existem soluções reais.
Uma observação rápida que confirma isso de maneira conceitual: a função
é uma função contínua e, como mostrado no Passo 7, para todo
vale
. Nos demais pontos
. Logo o mínimo de
em
é
. Como queremos
, que é menor que
, isso é impossível. Portanto não há solução.
Resposta
Não há solução real.