(b) (1.0 ponto) Quais das seguintes matrizes 3 times 3 estāo na forma escalonada por linhas? Caso alguma não esteja, indique quais propriedades da definiçīo nāo são satisfeitas.
A=[lll 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ], B=[lll 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 ], C=[lll 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 ]

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais das matrizes
A= 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 , B= 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 , C= 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
estão na forma escalonada por linhas. O conteúdo é a definição de forma escalonada por linhas, que exige checar três propriedades em cada matriz.

Passo 2

A definição de forma escalonada por linhas exige:
1. Toda linha composta só de zeros deve ficar abaixo de qualquer linha não nula.
2. Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (pivot) deve estar estritamente à direita do pivot da linha acima.
3. Todos os elementos abaixo de um pivot devem ser zeros.

Passo 3

Analisando A:
  • Linha 1 tem pivot em coluna 1; linha 2 pivot em coluna 2; linha 3 pivot em coluna 2 (primeiro 1 em posição (3,2)).
  • A propriedade 2 falha porque o pivot da linha 3 não está à direita do pivot da linha 2 (ambos na coluna 2).
  • A propriedade 3 também falha pois abaixo do pivot da linha 2 (posição (2,2)) não há zeros — a entrada (3,2) é 1.
Logo, A não está em forma escalonada por linhas (violação das propriedades 2 e 3).

Passo 4

Analisando B:
  • Linha 1 tem pivot em coluna 1; linha 2 é zero; linha 3 tem pivot em coluna 2.
  • A propriedade 1 falha pois há uma linha zero (linha 2) acima de uma linha não nula (linha 3).
  • As propriedades 2 e 3 são satisfeitas: pivot da linha 3 está à direita do pivot da linha 1 e não há elementos abaixo dos pivots.
Logo, B não está em forma escalonada por linhas (violação da propriedade 1).

Passo 5

Analisando C:
  • Linha 1 tem pivot em coluna 1; linha 2 pivot em coluna 3; linha 3 é toda zero.
  • A propriedade 1 é satisfeita (a linha zero está embaixo).
  • A propriedade 2 é satisfeita ( 3>1).
  • A propriedade 3 é satisfeita (não há elementos abaixo de nenhum pivot).
Logo, C está em forma escalonada por linhas.

Resposta

A não está em forma escalonada por linhas (falha nas propriedades 2 e 3).
B não está em forma escalonada por linhas (falha na propriedade 1).
C está em forma escalonada por linhas.

Exercícios relacionados