Em relação aos operadores dados, determinar primeiramente a matriz T na base A e, a seguir, utilizar a relação entre matrizes semelhantes para calcular a matriz de T na base B.
a) T: I R^3 I R^3, T(x, y, z)=(x-2 y-2 z, y, 2 y+3 z)
A é canônica e B=(0,1,-1),(1,0,0),(-1,0,1)
18) Seja T: I R^2 I R^2 um operador linear. Consideremos as bases A canônica e B=(4,1),(-11,-3). Sabendo que
[T]B=(ll3 & 5 1 & 2)
Determinar [T]A, utilizando a relação entre matrizes semelhantes.

Passo 1

O enunciado tem duas partes envolvendo operadores lineares e mudança de base via semelhança de matrizes.
(a) T: R^3to R^3 é dada por
T(x,y,z)=(x-2y-2z,;y,;2y+3z),
com base canônica A e base B=(0,1,-1),(1,0,0),(-1,0,1). Precisamos achar [T]A e depois [T]B usando
[T]B = P^-1,[T]A,P,
onde P é a matriz de mudança de B para A.
(18) T: R^2to R^2 tem base canônica A e base B=(4,1),(-11,-3), e sabemos
[T]B = 3&51&2
Aqui usamos
[T]A = P,[T]B,P^-1,
com P de B para A.

Passo 2

Para a parte (a), em A (canônica) as colunas de [T]A são T(e1),T(e2),T(e3). Como
T(1,0,0)=(1,0,0), T(0,1,0)=(-2,1,2), T(0,0,1)=(-2,0,3),
segue
[T]A = 1 & -2 & -2 0 & 1 & 0 0 & 2 & 3

Passo 3

Ainda na (a), a matriz de mudança de base P de B para A tem colunas os vetores de B:
P = l[,b1;b2;b3r] = 0 & 1 & -1 1 & 0 & 0 -1& 0 & 1
Calculando P^-1 (determinante -1), obtemos
P^-1 = 0 & 1 & 0 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1

Passo 4

Ainda em (a), a semelhança dá
[T]B = P^-1,[T]A,P
Fazendo as multiplicações surge
[T]B = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 ,
ou seja, b1,b2 são autovetores de valor 1 e b3 de valor 3.

Passo 5

Para o item 18, usamos
[T]A = P,[T]B,P^-1,
onde agora
P = l[,b1;b2r] = 4 & -11 1 & -3 ,
det P = -1, P^-1 = 3 & -11 1 & -4

Passo 6

Multiplicando em cadeia,
P,[T]B = 4 & -11 1 & -3 3 & 5 1 & 2 = 1 & -2 0 & -1 ,
[T]A = 1 & -2 0 & -1 3 & -11 1 & -4 = 1 & -3 -1 & 4

Resposta

(a)
[T]A = 1 & -2 & -2 0 & 1 & 0 0 & 2 & 3 , [T]B = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3
(18)
[T]A = 1 & -3 -1 & 4

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