Quais dos seguintes operadores são ortogonais?
a) T: I R^2 I R^2, T(x, y)=(1raiz2 x-1raiz2 y, 1raiz2 x+1raiz2 y)
b) T: I R^2 I R^2, T(x, y)=(-y,-x)

Passo 1

O enunciado dá dois operadores lineares em R^2 e pede para verificar quais são ortogonais. Um operador linear T é ortogonal se, na base canônica, sua matriz M satisfaz
M^T M = I

Passo 2

Para o caso (a), a matriz de T na base canônica é
Ma = 1raiz21 & -1[6pt]1 & 1
Calculamos
Ma^T Ma = 1raiz21 & 1[3pt]-1 & 1 1raiz21 & -1[3pt]1 & 1 = 121+1 & -1+1[3pt]-1+1 & 1+1 = 1 & 0[3pt]0 & 1
Logo, Ma^T Ma=I e o operador (a) é ortogonal.]

Passo 3

Para o caso (b), a matriz de T na base canônica é
Mb = 0 & -1[3pt]-1 & 0
Então
Mb^T Mb = 0 & -1[3pt]-1 & 0 0 & -1[3pt]-1 & 0 = 1 & 0[3pt]0 & 1
Portanto, Mb^T Mb=I e o operador (b) também é ortogonal.]

Resposta

Ambos os operadores, (a) e (b), são ortogonais.

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