Considere o sistema linear nas variáveis x, y, z dado por:
c x-2 y-4 z=2 a x+2 y-a z=0 x+2 a y-10 z=b +[ccc 1 & -2 & -4 1 & 2 & -1 1 & 2 & -10 ]=[l 2 0 1 ]
Determine para quais valores de a e b o sistema de equações dado satisfaz as seguintes condições:
(b) (1,0 ponto) Verifique as condições para que o sistema tenha solução única.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear nas incógnitas x,y,z
x - 2y - 4z = 2, a x + 2y - a z = 0, x + 2a,y - 10z = b,
e pede para que haja solução única. Isso acontece exatamente quando a matriz de coeficientes é inversível, isto é, quando o determinante dessa matriz é diferente de zero.

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A = 1 & -2 & -4 a & 2 & -a 1 & 2a & -10
Queremos det Aneq0.

Passo 3

Vamos calcular det A por expansão na primeira linha:
det A =1cdotdet2 & -a2a & -10 -(-2)cdotdeta & -a1 & -10 +(-4)cdotdeta & 21 & 2a
Agora os menores:
det2 & -a2a & -10 =2cdot(-10)-(-a)cdot(2a)= -20+2a^2,
deta & -a1 & -10 =acdot(-10)-(-a)cdot1= -9a,
deta & 21 & 2a =acdot2a-2cdot1=2a^2-2
Substituindo,
det A =(2a^2-20)+2cdot(-9a)-4cdot(2a^2-2) =2a^2-20-18a-8a^2+8 =-6a^2-18a-12
Fatorando,
det A=-6l(a^2+3a+2r) =-6(a+1)(a+2)

Passo 4

Para ter solução única precisamos de det Aneq0, ou seja
-6(a+1)(a+2)neq0 Long<=ftrightarrow aneq -1,;aneq -2
O valor de b não entra nessa condição: para qualquer binR o sistema será único desde que aneq-1,-2.

Resposta

O sistema tem solução única se, e somente se,
aneq -1 e aneq -2,
sem restrição sobre b.

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