(b) (1.0 ponto) Quais das seguintes matrizes 3 times 3 estão na forma escalonada por linhas? Caso alguma não esteja, indique quais propriedades da definição não são satisfeitas.
A=[lll 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ], B=[lll 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 ], C=[lll 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 ]

Passo 1

Vamos resolver a questão que pergunta quais das matrizes 3 times 3 apresentadas estão na forma escalonada por linhas. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre formas escalonadas. Para resolver, vamos precisar saber quais são as propriedades que uma matriz deve cumprir para estar na forma escalonada por linhas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades de uma matriz escalonada por linhas:
  1. Linha zero: Se existir uma linha composta apenas de zeros, ela deve estar na parte de baixo da matriz.
  2. Pivôs à direita: O primeiro número diferente de zero (chamado de pivô) de cada linha deve estar à direita do pivô da linha acima.
  3. Zeros abaixo dos pivôs: Todas as entradas abaixo de um pivô devem ser zero.
Com isso em mente, vamos analisar cada uma das matrizes A, B e C.

Passo 3

Matriz A:
A = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1
  • Primeira linha: O pivô é 1 na posição (1,1).
  • Segunda linha: O pivô é 1 na posição (2,2), que está à direita do pivô da linha acima.
  • Terceira linha: O pivô é 1 na posição (3,2), mas deveria estar à direita do pivô da segunda linha, que já está na posição (2,2).
Conclusão para A: Não está na forma escalonada por linhas porque o pivô da terceira linha não está à direita do pivô da segunda linha.

Passo 4

Matriz B:
B = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0
  • Primeira linha: O pivô é 1 na posição (1,1).
  • Segunda linha: O pivô é 1 na posição (2,2), à direita do pivô da linha acima.
  • Terceira linha: Composta apenas de zeros, está na parte de baixo da matriz.
Conclusão para B: Está na forma escalonada por linhas, pois cumpre todas as propriedades.

Passo 5

Matriz C:
C = 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
  • Primeira linha: O pivô é 1 na posição (1,1).
  • Segunda linha: O pivô é 1 na posição (2,3), que está à direita do pivô da linha acima.
  • Terceira linha: Composta apenas de zeros, está na parte de baixo da matriz.
Conclusão para C: Está na forma escalonada por linhas, pois cumpre todas as propriedades.

Resposta

A matriz B e a matriz C estão na forma escalonada por linhas. A matriz A não está, porque o pivô da terceira linha não está à direita do pivô da segunda linha.

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