Sejam os vetores
e
. Mostre que:
[Dica: use a Desigualdade de Cauchy-Schwarz]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá dois vetores,
e
, e pede para mostrar que o produto escalar deles,
, é menor ou igual a 1. Vamos usar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz para isso. Precisamos lembrar como calcular o produto escalar e entender essa desigualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto escalar
. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da fórmula do cosseno da diferença de ângulos:
Vemos que
é exatamente
:
Passo 4
Sabemos que o cosseno de qualquer ângulo está sempre entre -1 e 1:
Portanto, temos:
Resposta
Assim, mostramos que
.