Sejam os vetores A=(cos alpha, sen alpha) e B=(cos beta, sen beta). Mostre que: A cdot B <= 1 [Dica: use a Desigualdade de Cauchy-Schwarz]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá dois vetores, A = (cos alpha, sin alpha) e B = (cos beta, sin beta), e pede para mostrar que o produto escalar deles, A cdot B, é menor ou igual a 1. Vamos usar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz para isso. Precisamos lembrar como calcular o produto escalar e entender essa desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar A cdot B. O produto escalar de dois vetores (a1, a2) e (b1, b2) é dado por:
A cdot B = a1 cdot b1 + a2 cdot b2
Aplicando isso aos nossos vetores:
A cdot B = cos alpha cdot cos beta + sin alpha cdot sin beta

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula do cosseno da diferença de ângulos:
cos(alpha - beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta
Vemos que A cdot B é exatamente cos(alpha - beta):
A cdot B = cos(alpha - beta)

Passo 4

Sabemos que o cosseno de qualquer ângulo está sempre entre -1 e 1:
-1 <= cos(alpha - beta) <= 1
Portanto, temos:
A cdot B = cos(alpha - beta) <= 1

Resposta

Assim, mostramos que A cdot B <= 1.

Exercícios relacionados