Se
e
forem vetores em um espaço com produto interno usual demonstre a Desigualdade de Cauchy-Schwarz
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz para vetores
e
em um espaço com produto interno usual. A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, mais especificamente conceitos de vetores e produto interno. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o produto interno e as propriedades dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto interno. Em um espaço vetorial com produto interno, o produto interno de dois vetores
e
é denotado por
e, no espaço usual, ele corresponde à soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores.
Passo 3
Também precisamos lembrar como calcular o comprimento (ou norma) de um vetor. A norma de um vetor
, denotada por
, é dada por:
Isso basicamente calcula a “distância” do vetor em relação à origem.
Passo 4
Agora, para provar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, vamos considerar que para qualquer escalar real
, a expressão
também é um vetor no espaço. Sabemos que o quadrado da norma de qualquer vetor é sempre não negativo, então:
Passo 5
Vamos expandir essa expressão usando as propriedades do produto interno:
Isso nos dá uma desigualdade quadrática em termos de
:
Passo 6
Para que essa desigualdade seja sempre verdadeira, o discriminante dessa equação quadrática deve ser menor ou igual a zero (caso contrário, a equação teria raízes reais e a expressão poderia ser negativa para alguns
). O discriminante
é dado por:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 4:
Passo 7
Rearranjando a desigualdade, temos:
Agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados (lembrando que todas as quantidades são positivas):
Como o produto interno
pode ser negativo, usamos o valor absoluto para garantir que a desigualdade sempre seja válida.
Resposta
Assim, demonstramos que para quaisquer vetores
e
em um espaço com produto interno usual, a Desigualdade de Cauchy-Schwarz vale: