Se u e v forem vetores em um espaço com produto interno usual demonstre a Desigualdade de Cauchy-Schwarz u v <=|u||v|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz para vetores u e v em um espaço com produto interno usual. A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, mais especificamente conceitos de vetores e produto interno. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o produto interno e as propriedades dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto interno. Em um espaço vetorial com produto interno, o produto interno de dois vetores u e v é denotado por u cdot v e, no espaço usual, ele corresponde à soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores.

Passo 3

Também precisamos lembrar como calcular o comprimento (ou norma) de um vetor. A norma de um vetor u, denotada por |u|, é dada por:
|u| = raizu cdot u
Isso basicamente calcula a “distância” do vetor em relação à origem.

Passo 4

Agora, para provar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, vamos considerar que para qualquer escalar real k, a expressão u - kv também é um vetor no espaço. Sabemos que o quadrado da norma de qualquer vetor é sempre não negativo, então:
(u - kv) cdot (u - kv) >= 0

Passo 5

Vamos expandir essa expressão usando as propriedades do produto interno:
u cdot u - 2k(u cdot v) + k^2 (v cdot v) >= 0
Isso nos dá uma desigualdade quadrática em termos de k:
|u|^2 - 2k(u cdot v) + k^2 |v|^2 >= 0

Passo 6

Para que essa desigualdade seja sempre verdadeira, o discriminante dessa equação quadrática deve ser menor ou igual a zero (caso contrário, a equação teria raízes reais e a expressão poderia ser negativa para alguns k). O discriminante De<a é dado por:
De<a = [ -2 (u cdot v) ]^2 - 4 |v|^2 |u|^2 <= 0
Simplificando:
4 (u cdot v)^2 - 4 |v|^2 |u|^2 <= 0
Dividindo ambos os lados por 4:
(u cdot v)^2 - |u|^2 |v|^2 <= 0

Passo 7

Rearranjando a desigualdade, temos:
(u cdot v)^2 <= |u|^2 |v|^2
Agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados (lembrando que todas as quantidades são positivas):
|u cdot v| <= |u| |v|
Como o produto interno u cdot v pode ser negativo, usamos o valor absoluto para garantir que a desigualdade sempre seja válida.

Resposta

Assim, demonstramos que para quaisquer vetores u e v em um espaço com produto interno usual, a Desigualdade de Cauchy-Schwarz vale:
u cdot v <= |u| |v|

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