Seja A uma matriz 3 times 3 invertível dada por:
A=[ccc 2 & 3 & 0 -1 & 4 & -2 0 & 1 & 5 ]
(a) (1.0 ponto) Encontre explicitamente a matriz (A^T)^-1.

Passo 1

Vamos resolver o problema que envolve matrizes! A gente tem uma matriz A de tamanho 3 times 3 e queremos encontrar a matriz inversa da sua transposta, ou seja, (A^T)^-1 . Para isso, vamos precisar saber sobre matrizes transpostas e inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante das matrizes: a inversa da transposta de uma matriz é igual à transposta da inversa da matriz. Em forma de fórmula, isso fica assim:
(A^T)^-1 = (A^-1)^T
Isso significa que, para encontrar (A^T)^-1 , podemos primeiro encontrar A^-1 e depois tirar a transposta dessa matriz inversa.

Passo 3

Vamos começar encontrando A^-1 . Para isso, precisamos calcular o determinante de A e a matriz adjunta de A . A fórmula para a inversa é:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Vamos calcular o determinante de A .

Passo 4

O determinante de uma matriz 3 times 3 é calculado assim:
det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
Para a nossa matriz A :
A= 2 & 3 & 0 -1 & 4 & -2 0 & 1 & 5
Aplicando a fórmula:
det(A) = 2(4 cdot 5 - (-2) cdot 1) - 3((-1) cdot 5 - (-2) cdot 0) + 0((-1) cdot 1 - 4 cdot 0) = 2(20 + 2) - 3(-5 - 0) + 0( -1 - 0) = 2 cdot 22 - 3 cdot (-5) + 0 = 44 + 15 + 0 = 59

Passo 5

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de A . A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores. Calculamos os cofatores para cada elemento de A :
adj(A) = C11 & C21 & C31 C12 & C22 & C32 C13 & C23 & C33
Após calcular os cofatores, obtemos:
adj(A) = (4 cdot 5 - (-2) cdot 1) & -((-1) cdot 5 - (-2) cdot 0) & ((-1) cdot 1 - 4 cdot 0) -(3 cdot 5 - 0 cdot 1) & 2 cdot 5 - 0 cdot (-2) & -(2 cdot 1 - 3 cdot 0) 3 cdot (-2) - 4 cdot 0 & -(2 cdot (-2) - (-1) cdot 0) & 2 cdot 4 - (-1) cdot 3 = 22 & 5 & -1 -15 & 10 & -2 -6 & 4 & 11

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da inversa:
A^-1 = 159 cdot 22 & 5 & -1 -15 & 10 & -2 -6 & 4 & 11

Passo 7

Finalmente, vamos encontrar (A^T)^-1 tirando a transposta de A^-1 :
(A^T)^-1 = (A^-1)^T = 159 cdot 22 & -15 & -6 5 & 10 & 4 -1 & -2 & 11

Resposta

A matriz (A^T)^-1 é:
(A^T)^-1 = 159 cdot 22 & -15 & -6 5 & 10 & 4 -1 & -2 & 11

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