(b) (1.0 ponto) Determine, sem calcular A^-1,((159 cdot A)^-1)^T. Justifique as propriedades usadas.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz A de ordem 3 times 3 que é invertível. A tarefa é determinar a expressão ( ( 159 cdot A )^-1 )^T sem calcular a inversa de A diretamente. Para resolver isso, vamos usar propriedades de matrizes inversas, escalares e transpostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando multiplicamos uma matriz por um escalar, certas propriedades se aplicam à sua inversa. A propriedade relevante aqui é:
(c cdot A)^-1 = 1c cdot A^-1
onde c é um escalar e A é uma matriz invertível.
Passo 3
Aplicando essa propriedade à nossa expressão, temos:
( 159 cdot A )^-1 = 59 cdot A^-1
Isso significa que a inversa de 159 cdot A é igual a 59 vezes a inversa de A .
Passo 4
Agora, queremos a transposta dessa inversa. Vamos lembrar outra propriedade importante das matrizes:
(A^-1)^T = (A^T)^-1
Isso significa que a transposta da inversa de A é igual à inversa da transposta de A .
Passo 5
Aplicando essa propriedade à expressão que obtivemos no Passo 3: