Seja A uma matriz 3 times 3 invertível dada por:
A=[ccc 2 & 3 & 0 -1 & 4 & -2 0 & 1 & 5 ]
(b) (1.0 ponto) Determine, sem calcular A^-1,((159 cdot A)^-1)^T. Justifique as propriedades usadas.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz A de ordem 3 times 3 que é invertível. A tarefa é determinar a expressão ( ( 159 cdot A )^-1 )^T sem calcular a inversa de A diretamente. Para resolver isso, vamos usar propriedades de matrizes inversas, escalares e transpostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando multiplicamos uma matriz por um escalar, certas propriedades se aplicam à sua inversa. A propriedade relevante aqui é:
(c cdot A)^-1 = 1c cdot A^-1
onde c é um escalar e A é uma matriz invertível.

Passo 3

Aplicando essa propriedade à nossa expressão, temos:
( 159 cdot A )^-1 = 59 cdot A^-1
Isso significa que a inversa de 159 cdot A é igual a 59 vezes a inversa de A .

Passo 4

Agora, queremos a transposta dessa inversa. Vamos lembrar outra propriedade importante das matrizes:
(A^-1)^T = (A^T)^-1
Isso significa que a transposta da inversa de A é igual à inversa da transposta de A .

Passo 5

Aplicando essa propriedade à expressão que obtivemos no Passo 3:
( 59 cdot A^-1 )^T = 59 cdot (A^-1)^T = 59 cdot (A^T)^-1

Passo 6

Mas queremos a expressão final em termos de 159 . Observando que 59 é o inverso de 159 , podemos reescrever a expressão:
59 cdot (A^T)^-1 = 1159 cdot (A^T)^-1 = 159^-1 cdot (A^T)^-1
Simplificando fica:
159 cdot (A^T)^-1

Resposta

( ( 159 cdot A )^-1 )^T = 159 cdot (A^T)^-1

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