(b) Provar que os três seguintes são dependentes: (raiz2, 1,0),(1, raiz2, 1),(0,1, raiz2).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os vetores
v1=(raiz2,1,0), v2=(1,raiz2,1), v3=(0,1,raiz2)
em R^3 são linearmente dependentes. O conteúdo usado aqui é o de dependência linear: basta encontrar escalares, não todos nulos, que anulem a combinação linear dos três vetores.

Passo 2

Procuramos c1,c2,c3, não todos zero, tais que
c1,v1 + c2,v2 + c3,v3 = (0,0,0)
Escrevendo por coordenadas, teremos um sistema homogêneo em c1,c2,c3.

Passo 3

Expandindo a combinação por coordenadas:
(raiz2c1 + c2,; c1 + raiz2c2 + c3,; c2 + raiz2c3) = (0,0,0)
Isso gera o sistema
raiz2,c1 + c2 = 0, c1 + raiz2,c2 + c3 = 0, c2 + raiz2,c3 = 0

Passo 4

Da primeira equação vem
c2 = -raiz2,c1
Da terceira equação,
-raiz2,c1 + raiz2,c3 = 0 Longrightarrow c3 = c1
Substituindo esses valores na segunda equação confirma-se que ela se torna
c1 -2c1 + c1 = 0,
logo é satisfeita identicamente.

Passo 5

Bastando escolher c1=1neq0, obtemos
c2 = -raiz2, c3 = 1
e a combinação não trivial
v1 - raiz2,v2 + v3 = (0,0,0)

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes, pois
v1 - raiz2,v2 + v3 = 0

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