(c) Determinar todos os reais para os quais os três vectores seguintes em são dependentes: .
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos saber para quais valores reais de os vetores , e em são linearmente dependentes. O conteúdo aqui é dependência linear em e vamos usar a condição de que três vetores são dependentes se, e somente se, o determinante da matriz formada por eles for zero.
Passo 2
Formamos a matriz cujas colunas são os vetores dados:
A condição de dependência linear é
det(A)=0
Passo 3
Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
det(A) = tdet!t & 11 & t -1det!1 & 10 & t +0cdot(cdots)
Agora,
det!t & 11 & t = t^2-1, det!1 & 10 & t =1cdot t - 0cdot1 = t
Logo
det(A) = t,(t^2-1) - 1cdot t = t^3 - t - t = t^3 - 2t = t,(t^2-2)
Passo 4
Para dependência linear, impomos
t,(t^2-2)=0
As soluções reais são
t=0, t^2=2;Longrightarrow;t=pmraiz2
Resposta
Os vetores são linearmente dependentes se, e somente se,