(c) Determinar todos os reais t para os quais os três vectores seguintes em V3 são dependentes: (t, 1,0),(1, t, 1),(0,1, t).

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos saber para quais valores reais de t os vetores (t,1,0), (1,t,1) e (0,1,t) em R^3 são linearmente dependentes. O conteúdo aqui é dependência linear em R^3 e vamos usar a condição de que três vetores são dependentes se, e somente se, o determinante da matriz formada por eles for zero.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são os vetores dados:
A = t & 1 & 0 1 & t & 1 0 & 1 & t
A condição de dependência linear é
det(A)=0

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
det(A) = tdet!t & 11 & t -1det!1 & 10 & t +0cdot(cdots)
Agora,
det!t & 11 & t = t^2-1, det!1 & 10 & t =1cdot t - 0cdot1 = t
Logo
det(A) = t,(t^2-1) - 1cdot t = t^3 - t - t = t^3 - 2t = t,(t^2-2)

Passo 4

Para dependência linear, impomos
t,(t^2-2)=0
As soluções reais são
t=0, t^2=2;Longrightarrow;t=pmraiz2

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes se, e somente se,
t = 0, t = raiz2ou t = -raiz2

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