(a) Provar que o conjunto
de três vectores em
é uma base para
se e só se o seu subespaço linear
contém os três vectores coordenados unitários
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um conjunto
com três vetores é base de
se, e somente se, o subespaço linear gerado por
, que chamamos de
, contém os vetores coordenados unitários
. O conteúdo envolve as definições de base, geração e independência em espaços vetoriais de dimensão finita.
Passo 2
Suponha que
seja uma base de
. Por definição de base,
gera todo o espaço, ou seja,
. Como
, segue imediatamente que
Passo 3
Suponha agora que
. Queremos mostrar que
é base de
. Primeiro, qualquer vetor arbitrário
pode ser escrito como combinação linear das coordenadas unitárias:
Como cada um de
pertence a
, segue que
. Portanto
, ou seja,
gera
.
Passo 4
Como
tem exatamente três vetores e o espaço
tem dimensão três, um conjunto de três geradores de
é automaticamente linearmente independente. Logo
satisfaz tanto a condição de gerar
quanto a de independência, e portanto é uma base de
.
Resposta
Fica provado que
é base de
se, e somente se,
.