(a) Provar que o conjunto S de três vectores em V3 é uma base para V3 se e só se o seu subespaço linear L(S) contém os três vectores coordenados unitários i, j, k.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um conjunto Ssubset V3 com três vetores é base de V3 se, e somente se, o subespaço linear gerado por S, que chamamos de L(S), contém os vetores coordenados unitários i,j,k. O conteúdo envolve as definições de base, geração e independência em espaços vetoriais de dimensão finita.

Passo 2

Suponha que S seja uma base de V3. Por definição de base, S gera todo o espaço, ou seja, L(S)=V3. Como i,j,kin V3, segue imediatamente que
iin L(S), jin L(S), kin L(S)

Passo 3

Suponha agora que i,j,kin L(S). Queremos mostrar que S é base de V3. Primeiro, qualquer vetor arbitrário v=(v1,v2,v3)in V3 pode ser escrito como combinação linear das coordenadas unitárias:
v=v1,i+v2,j+v3,k
Como cada um de i,j,k pertence a L(S), segue que vin L(S). Portanto L(S)=V3, ou seja, S gera V3.

Passo 4

Como S tem exatamente três vetores e o espaço V3 tem dimensão três, um conjunto de três geradores de V3 é automaticamente linearmente independente. Logo S satisfaz tanto a condição de gerar V3 quanto a de independência, e portanto é uma base de V3.

Resposta

Fica provado que S é base de V3 se, e somente se, i,j,kin L(S).

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