(a) If
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a monotonicidade do operador de pontos de acumulação: dado
, mostrar que
. O conteúdo aqui é teoria de topologia de conjuntos, em particular a definição de ponto de acumulação (ou derivado).
Passo 2
Relembramos a definição de ponto de acumulação: um ponto
pertence a
se, e somente se, todo entorno aberto
de
satisfaz
Passo 3
Agora, seja
. Então, por definição, para qualquer entorno aberto
de
vale
Passo 4
Como
temos
Logo, de
segue
que é exatamente a condição para
. Portanto,
.
Resposta
Concluímos que, sempre que
, vale
.