(a) If A subseteq B, então L(A) subseteq L(B).

Passo 1

O enunciado pede para provar a monotonicidade do operador de pontos de acumulação: dado Asubseteq B, mostrar que L(A)subseteq L(B). O conteúdo aqui é teoria de topologia de conjuntos, em particular a definição de ponto de acumulação (ou derivado).

Passo 2

Relembramos a definição de ponto de acumulação: um ponto x pertence a L(A) se, e somente se, todo entorno aberto U de x satisfaz
Ucap l(Asetminusxr)neqemptyset

Passo 3

Agora, seja xin L(A). Então, por definição, para qualquer entorno aberto U de x vale
Ucap l(Asetminusxr)neqemptyset

Passo 4

Como Asubseteq B temos
Asetminusxsubseteq Bsetminusx
Logo, de
Ucap l(Asetminusxr)neqemptyset
segue
Ucap l(Bsetminusxr)neqemptyset,
que é exatamente a condição para xin L(B). Portanto, xin L(B).

Resposta

Concluímos que, sempre que Asubseteq B, vale ;L(A)subseteq L(B).

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