(*) Se A B A=A, prove que A é inversível se e somente se B é inversível.

Passo 1

O enunciado afirma que, para matrizes quadradas A e B sobre um corpo (por ex. R ou C), vale
A B A ;=; A,
e pede para provar que “ A é inversível se, e somente se, B é inversível”.
O tema aqui é teoria de inversas em álgebras de matrizes, mas em geral basta um contraexemplo para mostrar que a equivalência é falsa sem hipóteses adicionais.

Passo 2

Considere o seguinte exemplo em dimensão 2:
A = 1 & 0 [6pt] 0 & 0, B = 1 & 0 [6pt] 1 & 1
1. Calcule B A:
B,A = 1 & 0 1 & 1 1 & 0 0 & 0 = 1 & 0 1 & 0
2. Então
A B A = A,(B A) = 1 & 0 0 & 0 1 & 0 1 & 0 = 1 & 0 0 & 0 = A
Portanto a condição A B A = A está satisfeita.
3. Porém
det(B) = 1cdot1 - 0cdot1 = 1 neq 0,
de modo que B é inversível, enquanto
det(A) = 1cdot0 - 0cdot0 = 0,
logo A não é inversível.
Isso mostra que não é verdade, em geral, que B inversível implique A inversível. A equivalência “ A é inversível se, e somente se, B é inversível” falha já neste contraexemplo simples.]

Resposta

A equivalência é falsa em geral; o contraexemplo acima (com
;A=1&00&0,
;B=1&01&1) satisfaz A B A=A, tem B inversível e A não inversível, refutando o enunciado.

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