(*) Se
, prove que
é inversível se e somente se
é inversível.
Passo 1
O enunciado afirma que, para matrizes quadradas
e
sobre um corpo (por ex.
ou
), vale
e pede para provar que “
é inversível se, e somente se,
é inversível”.
O tema aqui é teoria de inversas em álgebras de matrizes, mas em geral basta um contraexemplo para mostrar que a equivalência é falsa sem hipóteses adicionais.
Passo 2
Considere o seguinte exemplo em dimensão
:
Portanto a condição
está satisfeita.
de modo que
é inversível, enquanto
logo
não é inversível.
Isso mostra que não é verdade, em geral, que
inversível implique
inversível. A equivalência “
é inversível se, e somente se,
é inversível” falha já neste contraexemplo simples.]
Resposta
A equivalência é falsa em geral; o contraexemplo acima (com
,
) satisfaz
, tem
inversível e
não inversível, refutando o enunciado.