(*) Se a matriz de transição genética é [ccc0.25 & 0.5 & 0 0.5 & 0.5 & 0.5 0.25 & 0 & 0.5], encontre a distribuição de equilíbrio.

Passo 1

O enunciado nos dá uma cadeia de Markov com matriz de transição genética
P = 0.25 & 0.5 & 0 [6pt] 0.5 & 0.5 & 0.5 [6pt] 0.25 & 0 & 0.5
e pede a distribuição de equilíbrio, ou seja, o vetor pi=(pi1,pi2,pi3) tal que
pi P = pi e pi1+pi2+pi3=1 ]

Passo 2

Vamos escrever as equações de equilíbrio componente a componente:
pi1 = 0.25,pi1 ;+; 0.5,pi2 ;+; 0.25,pi3,
pi2 = 0.5,pi1 ;+; 0.5,pi2 ;+; 0;pi3,
pi3 = 0;pi1 ;+; 0.5,pi2 ;+; 0.5,pi3,
além de
pi1 + pi2 + pi3 = 1
Das duas últimas equações obtemos
pi2 - 0.5,pi2 = 0.5,pi1 Longrightarrow pi2 = pi1,
pi3 - 0.5,pi3 = 0.5,pi2 Longrightarrow pi3 = pi2

Passo 3

Como pi2 = pi1 e pi3 = pi2, segue que
pi1 = pi2 = pi3
Pela normalização pi1+pi2+pi3=1, cada componente vale tfrac13.

Resposta

pi = l(tfrac13,;tfrac13,;tfrac13r)

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