Discuta as soluções de lx+2 y+k z=1 2 x+k y+8 z=3 em função de k.

Passo 1

O enunciado pede discutir em função de as soluções do sistema de duas equações e três incógnitas
O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares: vamos usar a análise de posto da matriz de coeficientes e da matriz aumentada para decidir consistência e, se houver soluções, parametrizá-las.

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes A e a matriz aumentada bar A:
A = 1 & 2 & k[4pt]2 & k & 8, bar A = 1 & 2 & k & 1[4pt]2 & k & 8 & 3
Para que as linhas de A sejam proporcionais existe t tal que
(2,;k,;8)=t,(1,;2,;k)
Da primeira componente vem t=2. Então k=2cdot2=4 e 8=2cdot k também dá k=4. Concluímos:
rank(A)= 1,&k=4, 2,&kneq4 ]

Passo 3

Caso kneq4:
Então rank(A)=2. Se as equações fossem proporcionais na matriz aumentada, o mesmo t=2 exigiria 3=2cdot1=2, o que falha; logo rank(bar A)=2. Como
rank(A)=rank(bar A)=2<3,
o sistema é compatível e tem um grau de liberdade. Tomamos z=t como parâmetro e resolvemos:
da primeira equação
x = 1 - 2y - k,t,
substituindo na segunda:
2(1-2y - k,t) + k,y + 8t = 3 ;Longrightarrow; -4y + k,y + (8-2k)t = 1 ;Longrightarrow; (k-4)y = 1 - (8-2k)t
Observe que 8-2k=-2(k-4), então
y = 1 +2(k-4)t,k-4, = 1k-4 + 2t,
e
x = 1 - 2l(tfrac1k-4+2tr) - k,t = k-6k-4 - (k+4),t
Portanto, para kneq4 as soluções são
x = k-6k-4 - (k+4),t,[6pt] y = 1k-4 + 2,t,[4pt] z = t, tinR ]

Passo 4

Caso k=4:
Então rank(A)=1, mas já vimos que na matriz aumentada as duas linhas não ficam proporcionais ( 3neq2), logo rank(bar A)=2. Como
rank(A)=1<2=rank(bar A),
o sistema é incompatível e não tem solução.

Resposta

Para k=4: sem solução.
Para kneq4: infinitas soluções, dadas por
x = k-6k-4 - (k+4),t, y = 1k-4 + 2,t, z = t, tinR

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