(b) Resolver o seguinte PVI de Cauchy-Euller não-homogêneo x^2 y^prime prime+x y^prime+y=ln x, y(1)= 0, y^prime(1)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI de Euler–Cauchy
x^2y'' + x y' + y = ln x,
com condições y(1)=0 e y'(1)=2.
O conteúdo é EDO de Cauchy–Euler não homogênea de segunda ordem. Vamos obter a solução geral somando a solução da equação homogênea à particular, e depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea
x^2y'' + x y' + y = 0
Usamos a troca padrão y=x^m. Isso dá a equação característica
m(m-1) + m + 1 = m^2 + 1 = 0,
cuja raiz é m=pm i. Portanto a solução homogênea é
yh(x) = Acosl(ln xr) + Bsinl(ln xr)

Passo 3

Para achar uma solução particular yp da não homogênea, percebemos que o termo forçante é ln x. Em equações de Euler–Cauchy costuma-se propor
yp(x) = Cl(ln xr)^2 + D,ln x + E
Calculamos as derivadas:
yp' = 2Cln x + Dx, yp'' = 2C - 2Cln x - Dx^2
Substituindo em x^2y'' + x y' + y obtemos
x^2yp'' + x yp' + yp = l[C(ln x)^2 + D,ln x + (2C+E)r]

Passo 4

Para que isso seja igual a ln x, igualamos coeficientes em (ln x)^2, ln x e constante:
C = 0, D = 1, 2C + E = 0 ;Rightarrow; E = 0
Logo
yp(x) = ln x

Passo 5

A solução geral do PVI é
y(x) = yh(x) + yp(x) = Acosl(ln xr) + Bsinl(ln xr) + ln x
Agora impomos as condições iniciais:
  1. Em x=1:
y(1) = Acos0 + Bsin0 + ln1 = A + 0 + 0 = 0 Rightarrow A = 0
  1. Derivando
y'(x) = -Asin(ln x) + Bcos(ln x)x + 1x,
em x=1
y'(1) = (-Acdot0 + Bcdot1) + 1 = B + 1 = 2 Rightarrow B = 1

Resposta

boxedy(x) = sinl(ln xr) + ln x

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