(b) Resolver o seguinte PVI de Cauchy-Euller não-homogêneo
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI de Euler–Cauchy
com condições
e
.
O conteúdo é EDO de Cauchy–Euler não homogênea de segunda ordem. Vamos obter a solução geral somando a solução da equação homogênea à particular, e depois impor as condições iniciais.
O conteúdo é EDO de Cauchy–Euler não homogênea de segunda ordem. Vamos obter a solução geral somando a solução da equação homogênea à particular, e depois impor as condições iniciais.
Passo 2
Começamos pela equação homogênea
Usamos a troca padrão
. Isso dá a equação característica
cuja raiz é
. Portanto a solução homogênea é
Passo 3
Para achar uma solução particular
da não homogênea, percebemos que o termo forçante é
. Em equações de Euler–Cauchy costuma-se propor
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
obtemos
Passo 4
Para que isso seja igual a
, igualamos coeficientes em
,
e constante:
Logo
Passo 5
A solução geral do PVI é
Agora impomos as condições iniciais:
- Em
:
- Derivando
em
dá