Considere-se um circuito elétrico constituído por uma força eletromotriz que produz uma queda de tensão E(t), uma resistência R, uma bobine com indutância L e um condensador com capacitância C, ligados em série (circuito RLC). Nessas condições a carga instantânea no condensador q(t) é tal que
L d^2 qd t^2+R d qd t+1C q=E(t)
sendo a intensidade de correte i, cada instante de t, dada por i(t)=d qd t.
Supondo que E(t)=cos (2 t) (Volt), R=4 (Ohm), L=1 (Henry) e C=0,2 (Farad), sabendo que no instante inicial a intensidade de corrente e a carga do condensador eram ambas nulas:
(b) determinar a intensidade de corrente em cada instante t.

Passo 1

Neste primeiro passo, a gente resume o enunciado: temos um circuito RLC em série governado pela equação diferencial de segunda ordem para a carga do condensador q(t):
Ld^2qdt^2+Rdqdt+1Cq=E(t)
com E(t)=cos(2t), R=4, L=1 e C=0.2. Precisamos resolver essa EDO com as condições iniciais q(0)=0 e i(0)=q'(0)=0 e, em seguida, obter a intensidade de corrente i(t)=q'(t).

Passo 2

A equação fica:
d^2qdt^2+4dqdt+5q=cos(2t)
A parte homogênea é
q''+4q'+5q=0,
com equação característica r^2+4r+5=0 cujas raízes são r=-2pm i. Logo,
qh(t)=e^-2tl(Acos t+Bsin tr)

Passo 3

Para a solução particular, usamos o método de coeficientes indeterminados e assumimos
qp(t)=acos(2t)+bsin(2t)
Derivando e substituindo na EDO, obtemos o sistema
a+8b=1, -8a+b=0,
cuja solução é a=1/65 e b=8/65.

Passo 4

A solução geral é
q(t)=e^-2t(Acos t+Bsin t)+165cos(2t)+865sin(2t)
Calculamos
i(t)=q'(t)=e^-2tl((-2A+B)cos t+(-2B-A)sin tr)-265sin(2t)+1665cos(2t)
Impondo q(0)=0 e q'(0)=0 leva a A=-1/65 e B=-18/65.

Passo 5

Substituindo A e B em q'(t), ficamos com
i(t)=165l(e^-2tl(-16cos t+37sin tr)+16cos(2t)-2sin(2t)r)

Resposta

i(t)=165l(e^-2tl(-16cos t+37sin tr)+16cos(2t)-2sin(2t)r)

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