(a) A(3,-2,-1) e r:lx+2 y+z-1=0 2 x+y-z+7=0
(b) A(1,2,1) e a reta de interseção do plano pi: x-2 y+z-3=0 com o plano y=0, z=0.

Passo 1

O exercício pede a distância de um ponto A a uma reta r em R^3. Para isso vamos usar a fórmula vetorial
d = l|,(P0A)times vr||v|,
onde v é o vetor direção da reta e P0 é um ponto qualquer sobre ela.

Passo 2

(a) Vamos achar a reta
Sejam os normais desses planos. O vetor direção é
Podemos escolher para simplificar.

Passo 3

Precisamos de um ponto
Dessas equações vem . Logo .

Passo 4

O ponto dado é A=(3,-2,-1). Formamos o vetor
P0A = A - P0 = (3 - (-5),,-2-3,,-1-0) = (8,,-5,,-1)
Calculamos o produto vetorial
P0A times v = (8,-5,-1)times(1,-1,1) = (-6,,-9,,-3),
cuja norma é
l|P0Atimesvr| = raiz(-6)^2+(-9)^2+(-3)^2 = raiz36+81+9 = raiz126 =3raiz14
E |v|=raiz1^2+(-1)^2+1^2=raiz3. Portanto
d(a) = 3raiz14raiz3 = raiz42

Passo 5

(b) O enunciado diz “reta de interseção do plano picolon x-2y+z-3=0 com o plano y=0,z=0”. Mas as duas equações y=0 e z=0 definem simultaneamente a reta x-eixo, e essa reta intersecta pi em um único ponto (3,0,0), não em outra reta. Logo não existe reta de interseção conforme está escrito, e não é possível calcular a distância sem reformular o enunciado.

Resposta

(a) raiz42
(b) Não há reta de interseção conforme descrito (as equações definem apenas um ponto).

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