Calcule a distância entre os pontos P e Q, nos casos:
(c) pi1: 2 x-y+2 z-1
pi2: 4 x-2 y+4 z=0

Passo 1

O enunciado pede a distância entre as duas superfícies planas
pi1colon 2x - y + 2z - 1 = 0 e
pi2colon 4x - 2y + 4z = 0.
O conteúdo principal aqui é a fórmula da distância entre planos paralelos, que requer o vetor normal comum e os termos constantes das equações.

Passo 2

Primeiro notamos que os vetores normais são
n1 = (2,-1,2) e
n2 = (4,-2,4) = 2,(2,-1,2) = 2,n1.
Como n2 é múltiplo de n1, os planos são paralelos.
Para aplicar a fórmula, escrevemos pi2 com o mesmo normal de pi1, dividindo a equação por 2:
pi2colon 2x - y + 2z = 0

Passo 3

Na forma ax+by+cz+d=0 temos para pi1 o termo constante
d1 = -1
e para pi2
d2 = 0
O comprimento do vetor normal comum n=(2,-1,2) é
|n| = raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = 3

Passo 4

Usamos a fórmula da distância entre planos paralelos:
dist = l|d2 - d1r||n|
Substituindo os valores:
dist = l|0 - (-1)r|3 = 13

Resposta

13

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