Considere os seguintes subespaços de
:
e
Determinar
.
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de
:
e
.
Queremos determinar o subespaço e o subespaço soma
. Para isso vamos:
Queremos determinar o subespaço
- parametrizar cada um gerando bases;
- achar a intersecção resolvendo todas as equações juntas;
- usar a fórmula de dimensão
; - extrair uma base de
.
Passo 2
Parametrização de
. As equações são
e
.
Da primeira vem . Substituindo na segunda:
Da primeira vem
Tomando parâmetros
e
, temos
Logo uma base de
é
Passo 3
Parametrização de
. As equações são
e
.
Da primeira , da segunda
.
Com parâmetros ,
,
Da primeira
Com parâmetros
Logo uma base de
é
Passo 4
Intersecção
. Impomos as quatro equações simultâneas:
-
, 2) , 3) , 4) .
Das duas primeiras obtivemos antese .
Da terceira, com: .
Da quarta, com: (consistente).
Portanto
Logo
que é de dimensão
.
Passo 5
Dimensões conhecidas:
,
,
.
Pela fórmula
Pela fórmula
Passo 6
Base de
. Tomamos a união das bases de
e
:
Como
, basta extrair três vetores linearmente independentes. Por exemplo
é um conjunto de três vetores independentes que geram
.