Considere os seguintes subespaços de R^4:
U=(x, y, z, w) in R^4: x+z=3 x+y+3 z+w=0
e
W=(x, y, z, w) in R^4: x+3 z-2 w=y+4 z-3 w=0
Determinar U cap W e U+W.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de R^4:
U=(x,y,z,w)mid x+z=0,;3x+y+3z+w=0 e
W=(x,y,z,w)mid x+3z-2w=0,;y+4z-3w=0.
Queremos determinar o subespaço Ucap W e o subespaço soma U+W. Para isso vamos:
  1. parametrizar cada um gerando bases;
  2. achar a intersecção resolvendo todas as equações juntas;
  3. usar a fórmula de dimensão dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W);
  4. extrair uma base de U+W.

Passo 2

Parametrização de U. As equações são
,x+z=0 e 3x+y+3z+w=0.
Da primeira vem x=-z. Substituindo na segunda:
3(-z)+y+3z+w=-3z+y+3z+w=y+w=0implies y=-w
Tomando parâmetros z=s e w=t, temos
(x,y,z,w)=(-s,,-t,,s,,t) =s,(-1,0,1,0)+t,(0,-1,0,1)
Logo uma base de U é
,u1=(-1,0,1,0),;u2=(0,-1,0,1)

Passo 3

Parametrização de W. As equações são
,x+3z-2w=0 e y+4z-3w=0.
Da primeira x=-3z+2w, da segunda y=-4z+3w.
Com parâmetros z=u, w=v,
(x,y,z,w)=(-3u+2v,,-4u+3v,,u,,v) =u,(-3,-4,1,0)+v,(2,3,0,1)
Logo uma base de W é
,w1=(-3,-4,1,0),;w2=(2,3,0,1)

Passo 4

Intersecção Ucap W. Impomos as quatro equações simultâneas:
  1. x+z=0, 2) 3x+y+3z+w=0, 3) x+3z-2w=0, 4) y+4z-3w=0.
    Das duas primeiras obtivemos antes x=-z e y=-w.
    Da terceira, com x=-z: -z+3z-2w=2z-2w=0implies z=w.
    Da quarta, com y=-w: -w+4z-3w=4z-4w=0implies z=w (consistente).
    Portanto
(x,y,z,w)=(-w,,-w,,w,,w)=w,(-1,-1,1,1)
Logo
Ucap W=span(-1,-1,1,1),
que é de dimensão 1.

Passo 5

Dimensões conhecidas: dim U=2, dim W=2, dim(Ucap W)=1.
Pela fórmula
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)=2+2-1=3

Passo 6

Base de U+W. Tomamos a união das bases de U e W:
,u1,u2,w1,w2 =(-1,0,1,0),(0,-1,0,1),(-3,-4,1,0),(2,3,0,1)
Como dim(U+W)=3, basta extrair três vetores linearmente independentes. Por exemplo
(-1,0,1,0),;(0,-1,0,1),;(-3,-4,1,0)
é um conjunto de três vetores independentes que geram U+W.

Resposta

Ucap W=span(-1,-1,1,1),
U+W=span(-1,0,1,0),,(0,-1,0,1),,(-3,-4,1,0) com dim(U+W)=3.

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