Seja beta=[c1 1 -1],[l0 2 1],[l4 2 0] base do R^3, use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt com o produto interno com pesos p1=2, p2=2 e p3=1 para encontrar uma base ortonormal do R^3 a partir de beta (Use os vetores na ordem dada):

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt em R^3 à base
beta=lv1=11-1,;v2=021,;v3=420r,
usando o produto interno com pesos p1=2, p2=2, p3=1, isto é,
lang<= x,yrang<= = 2,x1y1 + 2,x2y2 + 1cdot x3y3
O objetivo é obter uma base ortonormal e1,e2,e3.

Passo 2

Começamos com u1=v1. Calculamos
|u1|^2 = lang<= v1,v1rang<= =2cdot1^2 +2cdot1^2 +1cdot(-1)^2 =5,
logo
e1 = u1|u1| = 1raiz511-1

Passo 3

Orthogonalizamos v2 em relação a u1. O coeficiente de projeção é
alpha = lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<= = 2cdot0cdot1 +2cdot2cdot1 +1cdot1cdot(-1)5 = 35
Então
u2 = v2 - alpha,u1 = 021 -3511-1 =15-378
Calculamos a norma de u2:
|u2|^2 = 125l(2cdot(-3)^2+2cdot7^2+1cdot8^2r) =18025 =365,
logo |u2|=6/raiz5. Assim
e2 = u2|u2| = 16raiz5-378

Passo 4

Orthogonalizamos v3 em relação a u1 e u2. Primeiro
beta1 = lang<= v3,u1rang<=lang<= u1,u1rang<= = 2cdot4cdot1+2cdot2cdot1+1cdot0cdot(-1)5 =125,
w = v3 - beta1,u1 =420 -12511-1 =158-212
Depois projetamos w sobre u2:
beta2 = lang<= w,u2rang<=lang<= u2,u2rang<= = 15l(2cdot8cdot(-3)+2cdot(-2)cdot7+1cdot12cdot8r) 36/5 = 4/536/5 = 145
Então
u3 = w - beta2,u2 =158-212 -145-378 =5/3-5/920/9
Calculamos
|u3|^2 =2l(tfrac53r)^2+2l(-tfrac59r)^2 +l(tfrac209r)^2 =1009,
logo |u3|=10/3. Assim
e3 = u3|u3| = 3105/3-5/920/9 =1/2-1/62/3

Resposta

Uma base ortonormal (pelo produto interno com pesos) obtida é
e1 = 1raiz511-1, e2 = 16raiz5-378, e3 = 1/2-1/62/3

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