Se A e B são eventos independentes, então A e B^c também o são.

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VerdadeiroFalso

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se os eventos A e B são independentes, então A e B^c (o complementar de B) também são independentes. Estamos trabalhando com o conteúdo de probabilidade, especificamente com eventos independentes. Para resolver, vamos precisar entender o que significa dois eventos serem independentes e como isso se aplica ao complementar de um evento.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa dois eventos serem independentes. Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro. Matematicamente, isso é representado por:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
Isso quer dizer que a probabilidade de ambos acontecerem juntos é igual ao produto das probabilidades de cada um acontecer individualmente.

Passo 3

Agora, queremos verificar se A e B^c também são independentes. Segundo a definição, precisamos ver se:
P(A cap B^c) = P(A) times P(B^c)
Vamos calcular o lado esquerdo:
P(A cap B^c) = P(A) - P(A cap B)
Como A e B são independentes, sabemos que P(A cap B) = P(A) times P(B). Substituindo na equação acima:
P(A cap B^c) = P(A) - P(A) times P(B) = P(A) times (1 - P(B)) = P(A) times P(B^c)
Como os dois lados são iguais, isso mostra que A e B^c também são independentes.

Resposta

Verdadeiro

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