Uma companhia monta rádios cujas peças são produzidas em três de suas fábricas denominadas A1, A2 e A3. Elas produzem, respectivamente, 21 %, 26 % e 53 % do total. As probabilidades das fábricas A1, A2 e A3 produzirem peças defeituosas são: 0,10,0,19 e 0,44 , respectivamente. Uma peça é escolhida ao acaso do conjunto de peças produzidas. Utilize quatro casas decimais para arredondamento.
Qual a probabilidade de que a peça escolhida tenha sido produzida pela fábrica A1, dado que ela seja defeituosa? square

Passo 1

Beleza, o exercício é o seguinte: uma peça pode vir de uma das fábricas A₁, A₂ ou A₃, que produzem 21%, 26% e 53% das peças, respectivamente. Cada fábrica tem uma taxa de defeito diferente: 10% em A₁, 19% em A₂ e 44% em A₃. A pergunta é: “Qual a probabilidade da peça ter vindo de A₁ sabendo que ela é defeituosa?”
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes. O que vamos precisar:
  1. As probabilidades iniciais P(A₁), P(A₂), P(A₃).
  2. As probabilidades de defeito P(D|Aᵢ).
  3. O Teorema de Bayes e a Lei da Probabilidade Total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Bayes. Para eventos A₁ e D:
P(A₁mid D) ;=; P(Dmid A₁),P(A₁)P(D)
Aqui P(D) é a probabilidade de tirar uma peça defeituosa de modo geral. A gente não tem direto, mas usa a Lei da Probabilidade Total:
P(D) ;=; P(Dmid A₁),P(A₁);+;P(Dmid A₂),P(A₂);+;P(Dmid A₃),P(A₃)

Passo 3

Vamos calcular cada termo:
P(A₁)=0,21; P(A₂)=0,26; P(A₃)=0,53
P(D|A₁)=0,10; P(D|A₂)=0,19; P(D|A₃)=0,44
  1. P(D|A₁)·P(A₁) = 0,10×0,21 = 0,021
  2. P(D|A₂)·P(A₂) = 0,19×0,26 = 0,0494
  3. P(D|A₃)·P(A₃) = 0,44×0,53 = 0,2332
Somando para achar P(D):
P(D) = 0,021 + 0,0494 + 0,2332 = 0,3036

Passo 4

Agora aplicamos Bayes:
P(A₁mid D) = 0,0210,3036 approx 0,0692
A gente dividiu o termo da A₁ pela soma total de defeitos.

Resposta

A probabilidade de a peça ter vindo de A₁, sabendo que ela é defeituosa, é aproximadamente
boxed0,0692

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