Uma companhia monta rádios cujas peças são produzidas em três de suas fábricas denominadas
e
. Elas produzem, respectivamente,
,
e
do total. As probabilidades das fábricas
e
produzirem peças defeituosas são:
e 0,44 , respectivamente. Uma peça é escolhida ao acaso do conjunto de peças produzidas. Utilize quatro casas decimais para arredondamento.
Qual a probabilidade de que a peça escolhida tenha sido produzida pela fábrica
, dado que ela seja defeituosa?
Qual a probabilidade de que a peça escolhida tenha sido produzida pela fábrica
Passo 1
Beleza, o exercício é o seguinte: uma peça pode vir de uma das fábricas A₁, A₂ ou A₃, que produzem 21%, 26% e 53% das peças, respectivamente. Cada fábrica tem uma taxa de defeito diferente: 10% em A₁, 19% em A₂ e 44% em A₃. A pergunta é: “Qual a probabilidade da peça ter vindo de A₁ sabendo que ela é defeituosa?”
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes. O que vamos precisar:
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes. O que vamos precisar:
- As probabilidades iniciais P(A₁), P(A₂), P(A₃).
- As probabilidades de defeito P(D|Aᵢ).
- O Teorema de Bayes e a Lei da Probabilidade Total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Bayes. Para eventos A₁ e D:
Aqui P(D) é a probabilidade de tirar uma peça defeituosa de modo geral. A gente não tem direto, mas usa a Lei da Probabilidade Total:
Passo 3
Vamos calcular cada termo:
P(A₁)=0,21; P(A₂)=0,26; P(A₃)=0,53
P(D|A₁)=0,10; P(D|A₂)=0,19; P(D|A₃)=0,44
P(A₁)=0,21; P(A₂)=0,26; P(A₃)=0,53
P(D|A₁)=0,10; P(D|A₂)=0,19; P(D|A₃)=0,44
- P(D|A₁)·P(A₁) = 0,10×0,21 = 0,021
- P(D|A₂)·P(A₂) = 0,19×0,26 = 0,0494
- P(D|A₃)·P(A₃) = 0,44×0,53 = 0,2332
Somando para achar P(D):
Passo 4
Agora aplicamos Bayes:
A gente dividiu o termo da A₁ pela soma total de defeitos.
Resposta
A probabilidade de a peça ter vindo de A₁, sabendo que ela é defeituosa, é aproximadamente