Se A e B são eventos e P(A)>0, prove que:
P(A^c mid A)=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois eventos A e B num espaço de probabilidade com P(A)>0, temos
Pl(A^cmid Ar)=0
O conteúdo usado será a definição de probabilidade condicional e propriedades básicas de conjuntos (interseção de um evento com seu complementar).

Passo 2

Lembrando a definição de probabilidade condicional, para um evento C com P(A)>0,
Pl(Cmid Ar) = Pl(Ccap Ar)P(A)
Aqui vamos aplicar com C = A^c.

Passo 3

Observe que
A^ccap A = emptyset,
pois não há elemento que pertença simultaneamente a A e ao seu complementar A^c.

Passo 4

Como a probabilidade do evento vazio é zero, temos
Pl(A^ccap Ar) = P(emptyset) =0
Logo, o numerador da definição de probabilidade condicional é zero.

Passo 5

Substituindo na definição,
Pl(A^cmid Ar) = Pl(A^ccap Ar)P(A) = 0P(A) =0,
já que P(A)>0.

Resposta

Pl(A^cmid Ar)=0.

Exercícios relacionados