Se A e B são eventos e P(A)>0, prove que:
P(A cup B mid A)=1

Passo 1

O enunciado dá dois eventos A e B num espaço de probabilidade, com a condição de que P(A)>0. A tarefa é mostrar que a probabilidade condicional de Acup B dado A vale 1. Para isso vamos usar a definição de probabilidade condicional e uma propriedade de conjuntos.

Passo 2

Lembrando a definição de probabilidade condicional: se P(A)>0, então para qualquer evento E temos
P(Emid A) ;=;P(Ecap A)P(A)

Passo 3

Observe que
(Acup B)cap A ;=; l(Acap Ar);cup;l(Bcap Ar) ;=; A;cup;(Bcap A) ;=; A
porque Acap A=A e Acup (Bcap A) contém exatamente todos os pontos de A.

Passo 4

Aplicando isso na definição de condicional, com E = Acup B, obtemos
P(Acup Bmid A) ;=; Pl((Acup B)cap Ar)P(A) ;=; P(A)P(A) ;=; 1

Resposta

P(Acup Bmid A)=1

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