Se A e B são eventos e P(A)>0, prove que:
P(A mid A cup B)=P(A) /[P(A)+P(B)]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a probabilidade condicional
,P(Amid Acup B),
sabendo que P(A)>0.
Para isso vamos usar a definição de probabilidade condicional e a fórmula da probabilidade da união de dois eventos.
Aqui é preciso notar que, para obter o resultado dado, estamos assumindo que A e B são disjuntos, ou seja,
,Acap B=emptyset.

Passo 2

Pela definição de probabilidade condicional:
P(Amid Acup B) =Pl(Acap (Acup B)r)P(Acup B)
Como Acap (Acup B)=A, isso vira
P(Amid Acup B) =P(A)P(Acup B)
Agora usamos a fórmula da união de dois eventos:
P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)
Mas, supondo Acap B=emptyset, temos P(Acap B)=0. Logo
P(Acup B)=P(A)+P(B)
Substituindo em cima,
P(Amid Acup B) =P(A)P(A)+P(B)

Resposta

P(Amid Acup B) =P(A)P(A)+P(B)

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