Se a e b são inteiros positivos e b \mid a, mostre que (a, b)=b.

Passo 1

O enunciado diz que a e b são inteiros positivos e que b\mid a. Temos de mostrar que o máximo divisor comum de a e b, denotado por (a,b), é exatamente b. Para isso vamos usar a definição de mdc e as propriedades de divisibilidade.

Passo 2

Relembremos a definição de (a,b)=d:
  1. d é divisor de a e de b, ou seja, d\mid a e d\mid b.
  2. Se c é qualquer inteiro que divide a e b, então c\mid d.
Em outras palavras, (a,b) é o maior divisor comum a a e b no sentido de divisibilidade.

Passo 3

Como b\mid a (hipótese) e obviamente b\mid b, concluímos que b é um divisor comum de a e b. Pelo item 2 da definição, todo divisor comum divide (a,b). Logo
b \mid (a,b).

Passo 4

Por outro lado, pela condição 1 da definição de (a,b), sabemos que (a,b) também divide b:
(a,b)\mid b.

Passo 5

Agora temos duas divisibilidades mútuas:
b \mid (a,b) \quad\text{e}\quad (a,b)\mid b.
Para inteiros positivos, isso só é possível se eles forem iguais. Portanto
(a,b) = b.

Resposta

(a,b)=b.

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