Se
e
são inteiros positivos e
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são inteiros positivos e que
. Temos de mostrar que o máximo divisor comum de
e
, denotado por
, é exatamente
. Para isso vamos usar a definição de mdc e as propriedades de divisibilidade.
Passo 2
Relembremos a definição de
:
-
é divisor de e de , ou seja, e . - Se
é qualquer inteiro que divide e , então .
Em outras palavras,
é o maior divisor comum a
e
no sentido de divisibilidade.
Passo 3
Como
(hipótese) e obviamente
, concluímos que
é um divisor comum de
e
. Pelo item 2 da definição, todo divisor comum divide
. Logo
Passo 4
Por outro lado, pela condição 1 da definição de
, sabemos que
também divide
:
Passo 5
Agora temos duas divisibilidades mútuas:
Para inteiros positivos, isso só é possível se eles forem iguais. Portanto