Prove que todo par de inteiros da forma
e
são relativamente primos.
Passo 1
O problema pede para mostrar que, para todo inteiro
, os números
e
têm máximo divisor comum igual a
. O conteúdo aqui é o Algoritmo de Euclides para determinar
e a propriedade de que qualquer divisor comum a dois números também divide a diferença entre eles.
Passo 2
Aplicamos o Algoritmo de Euclides em
. Note que
Pelo Algoritmo de Euclides, temos
Passo 3
Agora analisamos
. Qualquer divisor comum a
e a
deve dividir
. Os únicos divisores positivos de
são
e
. Mas
é um número ímpar, logo não é divisível por
. Sobram apenas divisores comuns iguais a
.
Resposta
Para todo inteiro
,
ou seja,
e
são relativamente primos.