Prove que todo par de inteiros da forma 2 k+1 e 2 k-1 são relativamente primos.

Passo 1

O problema pede para mostrar que, para todo inteiro k, os números 2k+1 e 2k-1 têm máximo divisor comum igual a 1. O conteúdo aqui é o Algoritmo de Euclides para determinar \gcd(a,b) e a propriedade de que qualquer divisor comum a dois números também divide a diferença entre eles.

Passo 2

Aplicamos o Algoritmo de Euclides em \gcd(2k+1,\,2k-1). Note que
(2k+1) - (2k-1) = 2.
Pelo Algoritmo de Euclides, temos
\gcd(2k+1,\,2k-1) \;=\;\gcd(2k-1,\,2).

Passo 3

Agora analisamos \gcd(2k-1,\,2). Qualquer divisor comum a 2k-1 e a 2 deve dividir 2. Os únicos divisores positivos de 2 são 1 e 2. Mas 2k-1 é um número ímpar, logo não é divisível por 2. Sobram apenas divisores comuns iguais a 1.

Resposta

Para todo inteiro k,
\gcd(2k+1,\,2k-1)=1,
ou seja, 2k+1 e 2k-1 são relativamente primos.

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