Find the absolute maximum and minimum values of
on the set
.
Passo 1
O enunciado pede os extremos absolutos da função
no conjunto fechado e limitado
Para isso vamos usar o método padrão de extremos em domínios fechados:
- Encontrar pontos críticos no interior de
. - Examinar as fronteiras retilíneas
e . - Examinar a fronteira circular
. - Comparar todos os valores obtidos.
Passo 2
No interior de
(onde
e
) calculamos o gradiente de
:
Para ter ponto crítico resolvemos
o que implica
. Mas isso está na fronteira
, não no interior propriamente dito. Logo não há ponto crítico interno com
.
Passo 3
Analisamos as arestas retilíneas:
- Se
com , então - Se
com , então
Em ambas as arestas o valor de
é zero.
Passo 4
Na fronteira circular definida por
, com
, podemos escrever
e estudar a função de uma variável
Derivando em relação a
:
As raízes em
vêm de
, ou seja
.
Então
Então
e
Nos extremos
ou
nesta curva, já vimos que
.
Passo 5
Os valores candidatos para
são 0 (em todo o contorno retilíneo e nos extremos da curva) e 2 (em
). Comparando:
- Valor mínimo absoluto:
. - Valor máximo absoluto:
.
Resposta
O valor mínimo absoluto de
em
é
, e o valor máximo absoluto é
, atingido em
.