Find the absolute maximum and minimum values of f on the set D.
f(x, y)=x y^{2}, \quad D=\left\{(x, y) \mid x \geqslant 0, y \geqslant 0, x^{2}+y^{2} \leqslant 3\right\}

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos da função
f(x,y)=x\,y^{2}
no conjunto fechado e limitado
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x^{2}+y^{2}\le3\}.
Para isso vamos usar o método padrão de extremos em domínios fechados:
  1. Encontrar pontos críticos no interior de D.
  2. Examinar as fronteiras retilíneas x=0 e y=0.
  3. Examinar a fronteira circular x^{2}+y^{2}=3.
  4. Comparar todos os valores obtidos.

Passo 2

No interior de D (onde x>0 e y>0) calculamos o gradiente de f:
\nabla f(x,y)=\Bigl(\pdv{f}{x},\,\pdv{f}{y}\Bigr)=(y^{2},\,2x\,y).
Para ter ponto crítico resolvemos
y^{2}=0 \quad\text{e}\quad 2x\,y=0,
o que implica y=0. Mas isso está na fronteira y=0, não no interior propriamente dito. Logo não há ponto crítico interno com y>0.

Passo 3

Analisamos as arestas retilíneas:
  • Se y=0 com 0\le x\le\sqrt3, então f(x,0)=x\cdot0^{2}=0.
  • Se x=0 com 0\le y\le\sqrt3, então f(0,y)=0\cdot y^{2}=0.
Em ambas as arestas o valor de f é zero.

Passo 4

Na fronteira circular definida por x^{2}+y^{2}=3, com x,y\ge0, podemos escrever
x=\sqrt{3-y^{2}},
e estudar a função de uma variável
g(y)=f\bigl(\sqrt{3-y^{2}},\,y\bigr) = \sqrt{3-y^{2}}\;y^{2}, \quad 0\le y\le\sqrt3.
Derivando em relação a y:
g'(y) =2y\sqrt{3-y^{2}} -\frac{y^{3}}{\sqrt{3-y^{2}}} =\frac{3y(2-y^{2})}{\sqrt{3-y^{2}}}.
As raízes em (0,\sqrt3) vêm de 2-y^{2}=0, ou seja y=\sqrt2.
Então
x=\sqrt{3-(\sqrt2)^{2}}=1,
e
f(1,\sqrt2) =1\cdot(\sqrt2)^{2} =2.
Nos extremos y=0 ou y=\sqrt3 nesta curva, já vimos que f=0.

Passo 5

Os valores candidatos para f são 0 (em todo o contorno retilíneo e nos extremos da curva) e 2 (em (1,\sqrt2)). Comparando:
  • Valor mínimo absoluto: 0.
  • Valor máximo absoluto: 2.

Resposta

O valor mínimo absoluto de f em D é 0, e o valor máximo absoluto é 2, atingido em \bigl(1,\sqrt2\bigr).

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