Find the absolute maximum and minimum values of
on the set
.
Passo 1
O enunciado pede os valores absolutos de máximo e mínimo de
no disco fechado
.
O conteúdo aqui é otimização em conjunto compacto: buscamos pontos críticos internos por derivadas parciais e depois examinamos a fronteira com multiplicadores de Lagrange.
no disco fechado
O conteúdo aqui é otimização em conjunto compacto: buscamos pontos críticos internos por derivadas parciais e depois examinamos a fronteira com multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Procuramos pontos críticos no interior de
resolvendo
Isso dá
e
. No ponto
temos
Passo 3
Na fronteira
usamos Lagrange. Definimos
e impomos
ou seja
Passo 4
Do sistema acima há três casos:
Caso A:
.
Então , isto é
.
Então
Caso B:
.
Então , isto é
.
Então
Caso C:
e
.
Das equações de Lagrange vem
e
, logo
Das equações de Lagrange vem
Na restrição
Chamando
,
tem solução positiva
, ou seja
Então
Passo 5
Reunindo valores:
O maior é
em
e o menor é
em
.
Resposta
O valor absoluto máximo é
, atingido em
.
O valor absoluto mínimo é , atingido em
.
O valor absoluto mínimo é