Em cada item, encontre a matriz A :
\left(3 A^{\mathrm{t}}-2\left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\\\ -5 & 2 \\\\ 1 & 3\end{array}\right]\right)^{\mathrm{t}}=\left[\begin{array}{ccc}7 & 0 & -1 \\\\ 2 & 1 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a igualdade entre duas matrizes envolvendo A. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Dado:
\left(3 A^{\mathrm{t}}-2\left[\begin{array}{cc} 0 & 2 \\[4pt] -5 & 2 \\[4pt] 1 & 3 \end{array}\right]\right)^{\mathrm{t}}=\left[\begin{array}{ccc} 7 & 0 & -1 \\[4pt] 2 & 1 & 5 \end{array}\right].
  • O que se pede: encontrar a matriz A que satisfaz essa igualdade.]

Passo 2

Vamos entender as dimensões envolvidas (isso é importante para manipular transpostas corretamente).
  • A matriz à direita é uma matriz 2\times 3.
  • A matriz multiplicada por 2 dentro do parêntese é a matriz
M=\left[\begin{array}{cc} 0 & 2 \\[4pt] -5 & 2 \\[4pt] 1 & 3 \end{array}\right],
que é 3\times 2.
  • Como aparece 3A^{\mathrm{t}}-2M e essa expressão é transposta depois, a expressão interna 3A^{\mathrm{t}}-2M deve ser uma matriz 3\times 2 (para que sua transposta seja 2\times 3 e possa igualar a matriz à direita). Assim A^{\mathrm{t}} é 3\times 2 e, consequentemente, A é 2\times 3. Isso faz sentido com a igualdade dada.]

Passo 3

Aplicar propriedades da transposta para simplificar a equação. Lembrando as propriedades usadas:
  • (X+Y)^{\mathrm{t}}=X^{\mathrm{t}}+Y^{\mathrm{t}};
  • (cX)^{\mathrm{t}}=cX^{\mathrm{t}} para escalar c;
  • (X^{\mathrm{t}})^{\mathrm{t}}=X.
Aplicando a transposição na expressão do enunciado:
\left(3 A^{\mathrm{t}}-2M\right)^{\mathrm{t}} = 3(A^{\mathrm{t}})^{\mathrm{t}} - 2 M^{\mathrm{t}} = 3A - 2M^{\mathrm{t}}.
Portanto a igualdade dada pode ser reescrita como
3A - 2M^{\mathrm{t}} = \left[\begin{array}{ccc} 7 & 0 & -1 \\[4pt] 2 & 1 & 5 \end{array}\right].]

Passo 4

Isolar A. Somando 2M^{\mathrm{t}} em ambos os lados e dividindo por 3, obtemos:
3A = \left[\begin{array}{ccc} 7 & 0 & -1 \\[4pt] 2 & 1 & 5 \end{array}\right] + 2M^{\mathrm{t}} \quad\Rightarrow\quad A = \frac{1}{3}\left(\left[\begin{array}{ccc} 7 & 0 & -1 \\[4pt] 2 & 1 & 5 \end{array}\right] + 2M^{\mathrm{t}}\right).]

Passo 5

Calcular M^{\mathrm{t}}. A partir de
M=\left[\begin{array}{cc} 0 & 2 \\[4pt] -5 & 2 \\[4pt] 1 & 3 \end{array}\right],
a transposta é a matriz 2\times 3
M^{\mathrm{t}}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -5 & 1 \\[4pt] 2 & 2 & 3 \end{array}\right].]

Passo 6

Calcular 2M^{\mathrm{t}} multiplicando cada entrada por 2:
2M^{\mathrm{t}}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -10 & 2 \\[4pt] 4 & 4 & 6 \end{array}\right].]

Passo 7

Somar a matriz da direita com 2M^{\mathrm{t}}:
\left[\begin{array}{ccc} 7 & 0 & -1 \\[4pt] 2 & 1 & 5 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc} 0 & -10 & 2 \\[4pt] 4 & 4 & 6 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 7 & -10 & 1 \\[4pt] 6 & 5 & 11 \end{array}\right].]

Passo 8

Dividir a soma por 3 para obter A:
A=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc} 7 & -10 & 1 \\[4pt] 6 & 5 & 11 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} \frac{7}{3} & -\frac{10}{3} & \frac{1}{3} \\[4pt] 2 & \frac{5}{3} & \frac{11}{3} \end{array}\right].]

Resposta

A=\left[\begin{array}{ccc} \frac{7}{3} & -\frac{10}{3} & \frac{1}{3} \\[4pt] 2 & \frac{5}{3} & \frac{11}{3} \end{array}\right]]

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