Sejam A=\left[\begin{array}{rrr}-2 & 5 & 1 \\\\ -3 & -6 & 5\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}-2 & -5 \\\\ 0 & 3 \\\\ 9 & -4\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\\\ -2 & 5\end{array}\right] e D=\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 3\end{array}\right]. Em cada caso, calcule o produto indicado ou explique por que ele não está definido
C^{2}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede. O enunciado fornece a matriz
C=\left[\begin{array}{rr} 1 & 3 \\\\ -2 & 5 \end{array}\right].
A pergunta é: calcular o produto indicado C^{2}, ou seja, calcular C\cdot C (o quadrado da matriz C) ou explicar por que esse produto não está definido.

Passo 2

Verificar se o produto C\cdot C está definido olhando as dimensões da matriz C.
  • A matriz C tem 2 linhas e 2 colunas, então sua dimensão é 2\times 2.
  • O produto de duas matrizes A e B é definido quando o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B.
  • Aqui, para C\cdot C, o número de colunas de C é 2 e o número de linhas de C também é 2. Portanto o produto está definido.
  • O resultado será uma matriz de dimensão 2\times 2.

Passo 3

Lembrar a definição prática da multiplicação de matrizes (a fórmula que vou usar). Se A é m\times n e B é n\times p, então o produto AB é a matriz m\times p cuja entrada na linha i e coluna j é
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}B_{kj}.
Aqui cada entrada do produto é a soma dos produtos correspondentes dos elementos da linha i de A com os elementos da coluna j de B. Vou aplicar isso com A=C e B=C. Cada soma terá n=2 termos porque C tem 2 colunas (e 2 linhas).

Passo 4

Calcular a entrada da linha 1, coluna 1 de C^{2} usando a fórmula:
(C^{2})_{11}=C_{11}\,C_{11}+C_{12}\,C_{21}.
Substituindo os valores que peguei da matriz C (peguei esses valores do enunciado: C_{11}=1, C_{12}=3, C_{21}=-2, C_{22}=5):
(C^{2})_{11}=1\cdot 1 + 3\cdot(-2)=1-6=-5.

Passo 5

Calcular a entrada da linha 1, coluna 2:
(C^{2})_{12}=C_{11}\,C_{12}+C_{12}\,C_{22}.
Substituindo os valores:
(C^{2})_{12}=1\cdot 3 + 3\cdot 5 =3+15=18.

Passo 6

Calcular a entrada da linha 2, coluna 1:
(C^{2})_{21}=C_{21}\,C_{11}+C_{22}\,C_{21}.
Substituindo os valores:
(C^{2})_{21}=(-2)\cdot 1 + 5\cdot(-2) = -2 -10 = -12.

Passo 7

Calcular a entrada da linha 2, coluna 2:
(C^{2})_{22}=C_{21}\,C_{12}+C_{22}\,C_{22}.
Substituindo os valores:
(C^{2})_{22}=(-2)\cdot 3 + 5\cdot 5 = -6 +25 = 19.

Resposta

\left[\begin{array}{rr}-5 & 18 \\\\ -12 & 19\end{array}\right]

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