Sejam A=\left[\begin{array}{rrr}-2 & 5 & 1 \\\\ -3 & -6 & 5\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}-2 & -5 \\\\ 0 & 3 \\\\ 9 & -4\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\\\ -2 & 5\end{array}\right] e D=\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 3\end{array}\right]. Em cada caso, calcule o produto indicado ou explique por que ele não está definido
C^{2}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede. O enunciado fornece a matriz
A pergunta é: calcular o produto indicado C^{2}, ou seja, calcular C\cdot C (o quadrado da matriz C) ou explicar por que esse produto não está definido.
Passo 2
Verificar se o produto C\cdot C está definido olhando as dimensões da matriz C.
A matriz C tem 2 linhas e 2 colunas, então sua dimensão é 2\times 2.
O produto de duas matrizes A e B é definido quando o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B.
Aqui, para C\cdot C, o número de colunas de C é 2 e o número de linhas de C também é 2. Portanto o produto está definido.
O resultado será uma matriz de dimensão 2\times 2.
Passo 3
Lembrar a definição prática da multiplicação de matrizes (a fórmula que vou usar). Se A é m\times n e B é n\times p, então o produto AB é a matriz m\times p cuja entrada na linha i e coluna j é
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}B_{kj}.
Aqui cada entrada do produto é a soma dos produtos correspondentes dos elementos da linha i de A com os elementos da coluna j de B. Vou aplicar isso com A=C e B=C. Cada soma terá n=2 termos porque C tem 2 colunas (e 2 linhas).
Passo 4
Calcular a entrada da linha 1, coluna 1 de C^{2} usando a fórmula:
(C^{2})_{11}=C_{11}\,C_{11}+C_{12}\,C_{21}.
Substituindo os valores que peguei da matriz C (peguei esses valores do enunciado: C_{11}=1, C_{12}=3, C_{21}=-2, C_{22}=5):