Se A e B são matrizes quadradas inversíveis e de mesma ordem n, prove que:
(A B A^-1)^2=A B^2 A^-1;

Passo 1

O enunciado pede para provar que (ABA^-1)^2 = A B^2 A^-1 para matrizes invertíveis A e B de ordem n. Vamos usar propriedades de multiplicação de matrizes (associatividade) e o fato de que A^-1A = I.

Passo 2

Escrevemos o quadrado da matriz composta:
(ABA^-1)^2 = ABA^-1 ; ABA^-1

Passo 3

Pela associatividade do produto, agrupamos os fatores de forma conveniente:
ABA^-1 ; ABA^-1 = A,B,(A^-1A),B,A^-1

Passo 4

Como A^-1A = I e BI = B, obtemos
A,B,(A^-1A),B,A^-1 = A,B,I,B,A^-1 = A,B^2,A^-1

Resposta

(ABA^-1)^2 = A,B^2,A^-1

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