Se A e B são matrizes quadradas inversíveis e de mesma ordem n, prove que:
(A B A^-1)^-1=A B^-1 A^-1.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes quadradas inversíveis de mesma ordem n e pede para mostrar que
l(A,B,A^-1r)^-1 ;=; A,B^-1,A^-1
O conteúdo principal aqui é a definição de inversa de matriz e a associatividade do produto matricial.

Passo 2

Seja
M = A,B,A^-1
Queremos encontrar uma matriz N tal que
M,N = I e N,M = I
Pela experiência com matrizes invertíveis, propomos
N = A,B^-1,A^-1

Passo 3

Verificamos M,N = I:
M,N = l(A,B,A^-1r),l(A,B^-1,A^-1r)
pela associatividade podemos agrupar:
= A,B,l(A^-1Ar),B^-1,A^-1 = A,B,I,B^-1,A^-1 = A,(B,B^-1),A^-1 = A,I,A^-1 = A,A^-1 = I

Passo 4

Agora verificamos N,M = I:
N,M = l(A,B^-1,A^-1r),l(A,B,A^-1r) = A,B^-1,l(A^-1Ar),B,A^-1 = A,B^-1,I,B,A^-1 = A,(B^-1B),A^-1 = A,I,A^-1 = I

Resposta

Como M,N = I e N,M = I, concluímos que N é a inversa de M. Portanto,
l(A,B,A^-1r)^-1 = A,B^-1,A^-1

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